2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版

第三章导数及其应用3．3导数在研究函数中的应用3．3.1函数的单调性与导数梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解函数的单调性与导数的关系．2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．3．会求不超过三次函数的单调区间．‖知识梳理‖1．函数的单调性与其导数的关系在某个区间(a，b)内，如果___________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内___________；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是___________．f′(x)0单调递减常数函数2．用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数f(x)的__________；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为___________________；(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为_____________________．定义域单调递增区间单调递减区间解剖难点探究提高重点难点突破1．导数与函数单调性的关系(1)利用导数符号判断单调性的方法：利用导数判断函数的单调性比用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．(2)一般地，在利用导数判断函数的单调性时，如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响包括该点在某个区间内的单调性．如f(x)＝x3.f′(x)＝3x2≥0，而f′(0)＝0，但增区间仍为(－∞，＋∞)．因此，f′(x)0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件．2．利用导数求函数的单调区间应注意的问题(1)在利用导数研究函数的单调区间时，首先要确定定义域，单调区间是在定义域内研究的．(2)当一个函数的单调递增(或单调递减)区间不止一个时，不能盲目地取并集，单调区间之间可用“逗号”或“和”字隔开．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一函数图象的变化与导数的关系函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)＞0时，－1＜x＜2；②f′(x)＜0时，x＜－1或x＞2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.根据以上信息，画出函数f(x)的大致图象．【解】根据题意，当－1＜x＜2时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，图象呈上升趋势；当x＜－1或x＞2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，图象呈下降趋势；当x＝－1或x＝2时，f′(x)＝0，是函数的极值点．综上，函数图象的大致形状如图所示．[名师点拨]导数的正负只与函数的单调性有关，而与函数的正负无关.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()解析：由函数y＝xf′(x)的图象可知，当x－1时，f′(x)0，f(x)为增函数；当－1x0时，f′(x)0，f(x)为减函数；当0x1时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x1时，f′(x)0，f(x)为增函数，故选C.答案：C题型二函数的单调性与导数(1)求函数y＝12x2－lnx的单调递减区间；(2)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax，讨论f(x)的单调性．【思路探索】对于(1)直接令f′(x)＜0；对于(2)先求导，f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.由此可知，分a≥1，a1两种情况讨论f′(x)的符号，从而确定单调区间．【解】(1)由y′＝x－1x＜0，x＞0，得0＜x＜1，∴函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(0,1)．(2)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0恒成立．∴当a≥1时，f(x)在R上单调递增．②当a1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1－1－a，x2＝－1＋1－a.当x∈(－∞，－1－1－a)时，f′(x)0，f(x)是单调递增函数；当x∈(－1－1－a，－1＋1－a)时，f′(x)0，f(x)是单调递减函数．当x∈(－1＋1－a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)是单调递增函数．[名师点拨]讨论含有参数的函数的单调性，是高考考查的重点之一．解答这类题通常求导后，归结为求含参数不等式的问题．在进行分类讨论时，要针对具体情况确定分类讨论的标准，做到不重不漏.(2019·全国卷Ⅱ，节选)已知函数f(x)＝lnx－x＋1x－1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明f(x)有且仅有两个零点．解：(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，∵f′(x)＝1x＋2x－12＝x2＋1xx－12，当x∈(0,1)和(1，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增，(2)证明：∵f(e)＝1－e＋1e－10，f(e2)＝2－e2＋1e2－1＝e2－3e2－10，∴f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，f1e＝－1－1e＋11e－1＝2e－10，f1e2＝－2－1e2＋11e2－1＝e2－31－e20，∴f(x)在(0,1)上有唯一零点，综上，f(x)有且仅有两个零点．题型三已知函数的单调性求参数的取值范围若f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．【思路探索】先求导得f′(x)＝3x2＋2x＋m，若f(x)在R上单调，只要f′(x)≥0恒成立，即可．【解】∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由f(x)是R上的单调函数，知f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．由于导函数的二次项系数30，所以只有f′(x)≥0恒成立．解法一：由上述讨论知，要使f′(x)≥0恒成立，只要Δ＝4－12m≤0，即m≥13.故实数m的取值范围是13，＋∞.解法二：f′(x)＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，只要m≥－3x2－2x恒成立．因为－3x2－2x＝－3x＋132＋13≤13，所以m≥13.所以实数m的取值范围是13，＋∞.[名师点拨]可导函数f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件是f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；可导函数f(x)在(a，b)上单调递减的充要条件是f′(x)≤0在(a，b)上恒成立．其中在(a，b)内有有限个点使f′(x)＝0.(2019·武城期中)若函数h(x)＝2x－kx在[1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是()A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]解析：∵h′(x)＝2＋kx2，若函数h(x)在[1，＋∞)上是增函数，则h′(x)≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，∴2＋kx2≥0，即k≥－2x2在x∈[1，＋∞)上恒成立，∴k≥－2，故选A.答案：A即学即练稳操胜券课堂基础达标1．“在区间(a，b)内f′(x)0”是“f(x)在区间(a，b)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．(2019·吉林舒兰一中月考)函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0,1]D．[－1,0)∪(0,1]解析：∵f′(x)＝2x－2x(x0)，由f′(x)≤0，得0x≤1，∴f(x)的单调减区间是(0,1]故选A.答案：A3．若f(x)＝lnxx，eba，则()A．f(a)f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)f(b)D．f(a)f(b)1解析：∵f′(x)＝1－lnxx2，当xe时，f′(x)0，∴f(x)在(e，＋∞)为减函数，∵eba，∴f(b)f(a)，故选C.答案：C4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＝________，c＝________.解析：∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知f′－1＝0，f′3＝0，即3－2b＋c＝0，27＋6b＋c＝0，解得b＝－3，c＝－9.答案：－3－95．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f(x)＝mx3－2x2.(1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx2在[1,3]上单调递增，求实数m的取值范围．解：(1)由题意得，f(x)＝x3－2x2，∴f′(x)＝3x2－4x，故f′(1)＝3－4＝－1，而f(1)＝1－2＝－1，故所求切线方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋y＝0.(2)由题意得，g(x)＝mx3－(m＋2)x2，则g′(x)＝3mx2－2(m＋2)x，由g(x)在区间[1,3]上是增函数，得g′(x)＝3mx2－2(m＋2)x≥0对于1≤x≤3恒成立，所以m(3x－2)≥4，因为3x－20，所以m≥43x－2，记h(x)＝43x－2，则m≥h(x)max，而函数h(x)在[1,3]上为减函数，则h(x)max＝h(1)＝4，所以m≥4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．