2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教B版选修

第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义学习目标核心素养1.理解导数的几何意义.2.会求曲线上在某点处的切线方程．(重点)3.理解曲线上在某点处的切线与过曲线上某点处的切线的区别．(难点)1.在理解导数的几何意义的基础上，提升学生的数学抽象素养.2.在求解曲线上在某点处的切线方程中提升学生的逻辑推理，数学运算素养.自主预习探新知导数的几何意义(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在______的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为_______________________．点P处limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)思考1：是否任何曲线的割线均有斜率？[提示]不是，当曲线的割线垂直于x轴时，此割线的斜率不存在．思考2：当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？[提示]kn无限趋近于切线PT的斜率k.1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2C[f′(2)＝limΔx→022＋Δx2－8Δx＝8.]2．函数y＝－1x在12，－2处的切线方程是()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋4D．y＝2x－4B[先求y＝－1x的导数：Δy＝－1x＋Δx＋1x＝Δxxx＋Δx，ΔyΔx＝1xx＋Δx，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01xx＋Δx＝1x2，即y′＝1x2，所以y＝－1x在点12，－2处的切线斜率为k＝y′|x＝12＝4.所以切线方程是y＋2＝4x－12，即y＝4x－4.]3．若函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝3，则函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为________．60°[设倾斜角为θ，则tanθ＝f′(x0)＝3，所以θ＝60°.]合作探究提素养求切点坐标【例1】已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解]设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.∴limΔx→0ΔyΔx＝4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．根据切线斜率求切点坐标的步骤1设切点坐标x0，y0.2求导函数f′x.3求切线的斜率f′x0.4由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.5点x0，y0在曲线fx上，将x0代入求y0，得切点坐标.1．若曲线y＝x2＋2ax与直线y＝2x－4相切，求a的值并求切点坐标．[解]设切点坐标为(x0，y0)．∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2＋2a(x0＋Δx)－x20－2ax0＝2x0·Δx＋(Δx)2＋2a·Δx，∴ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝2x0＋2a＋Δx，limΔx→0ΔyΔx＝2x0＋2a，∴f′(x0)＝2x0＋2a，∴2x0＋2a＝2.①又y0＝2x0－4，②y0＝x20＋2ax0，③联立①②③消去a，y0得x0＝±2，当x0＝2时a＝－1，切点坐标为(2,0)；当x0＝－2时a＝3，切点坐标为(－2，－8).求切线方程[探究问题]1．曲线的割线与切线有什么关系？[提示](1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线．(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．2．曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系？[提示](1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导．【例2】已知曲线C：y＝f(x)＝x3.求曲线C上在点(1，f(1))处的切线方程．[思路探究]求f′x→求f′1，f1→写出切线方程[解]∵Δy＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3(Δx)，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[(Δx)2＋3(Δx)＋3]＝3.又f(1)＝1，∴曲线C上在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.1．(变换条件)本典例曲线方程不变，试求过点P(1,1)与曲线C相切的直线方程．[解]设切点为P(x0，x30)，切线斜率为k＝f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x0＋Δx3－x30Δx＝limΔx→03Δx·x20＋3Δx2·x0＋Δx3Δx＝limΔx→0[3x20＋3Δx·x0＋(Δx)2]＝3x20，故切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x30＝3x20(1－x0)，有(1－x0)(1＋x0＋x20)－3x20(1－x0)＝0，所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－12.故所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋18＝34x＋12，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.2．(改变问法)本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？[解]由3x－y－2＝0，y＝x3得x3－3x＋2＝0，即(x－1)2(x＋2)＝0.解得x1＝1，x2＝－2，从而求得公共点P(1,1)，Q(－2，－8)．即切线与曲线C除了切点外，还有其他的公共点．(1)求曲线在某点处的切线方程的三个步骤(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程：①设切点为(m，f(m))；②求函数y＝f(x)在点m处的导数f′(m)；③根据直线的点斜式方程，写出切线方程为y－f(m)＝f′(m)(x－m)；④代入P(x0，f(x0))求出m的值，回代③即可求出切线方程．提醒：求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，点P(x0，y0)不一定是切点．导数几何意义的应用【例3】如图所示表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．[思路探究]本题考查导数几何意义的应用，明确导数的几何意义是解题的关键．f′(x0)表示曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率，要比较f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，即比较切线的倾斜程度．[解]用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；(4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率k＝f′(2)＝limΔt→0f2＋Δt－f2Δt＝limΔt→042＋Δt－22＋Δt2－8＋8Δt＝limΔt→04Δt－2Δt2－8ΔtΔt＝limΔt→0(－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合.3．(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()(2)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“”连接)(1)B(2)k1＞k3＞k2[(1)由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．(2)由导数的几何意义，可得k1k2.∵k3＝f2－f12－1表示割线AB的斜率，∴k1＞k3＞k2.]当堂达标固双基1．思考辨析(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点．()(3)设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行或重合．()[提示](1)×(f(x0))′＝0，而f′(x0)可以为任意实数．(2)√(3)√2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1A[f′(0)＝limΔx→0Δx2＋aΔx＋b－bΔx＝limΔx→0(Δx＋a)＝a＝1.又(0，b)在x－y＋1＝0上，所以b＝1.故选A.]3．如图所示的是y＝f(x)的图象，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定B[分别过A，B两点曲线的切线，由切线的斜率知kB＞kA，∴f′(xB)＞f′(xA)．故选B.]4．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.4[∵f(1)＝1＋2＝3，f′(1)＝k＝1，∴f(1)＋f′(1)＝4.]5．已知曲线y＝13x3上一点P2，83，求曲线在点P处的切线方程．[解]记y＝f(x)，因为点P2，83在曲线y＝13x3上，所以曲线在点P处的切线的斜率即为f′(2)，而f′(2)＝limΔx→0132＋Δx3－13×23Δx＝13limΔx→03×22×Δx＋3×2×Δx2＋Δx3Δx＝13limΔx→0[3×22＋3×2×Δx＋(Δx)2]＝22＝4，故曲线y＝13x3在点P处的切线方程为y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.