2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解导数形成的背景、思想方法；理解导数的意义．2．了解瞬时变化率与平均变化率的关系．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．‖知识梳理‖1．函数的变化率(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为ΔyΔx＝____________.其几何意义是曲线割线的________，物理意义是平均速度．(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝__________________，其几何意义是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率，物理意义是物体在x0这一时刻的瞬时速度．fx2－fx1x2－x1limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx斜率2．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的________变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的_______，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.瞬时导数解剖难点探究提高重点难点突破1．如何理解Δx，Δy的含义Δx表示自变量x的改变量，由Δx＝x2－x1知，Δx可正、可负，但Δx≠0(∵x2≠x1)；Δy表示函数值的改变量，由Δy＝f(x2)－f(x1)知，Δy可正、可负，可为0(当y＝f(x)为常数函数时)．2．求平均变化率的步骤(1)计算增量Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)对所求的差作商得ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.3．求瞬时速度的步骤(1)求位移增量Δs＝s(t＋Δt)－s(t)；(2)求平均速度v＝ΔsΔt；(3)求极限limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0st＋Δt－stΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt.4．对函数在某点处导数的理解(1)导数是从现实生活中大量的类似问题中，撇开这些问题的实际意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，我们应该很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)函数在某点处的导数是一个定值，不是变量．①若limΔx→0ΔyΔx存在，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处可导，且f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx；②若limΔx→0ΔyΔx不存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0处不可导．(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．(4)令x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝.5．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求平均变化率求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，Δx取13.并说明在哪一点附近的平均变化率最大．【思路探索】利用平均变化率的定义求解．【解】在x＝1附近的平均变化率为k1＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2－12Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f3＋Δx－f3Δx＝3＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.由于k1k2k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．[名师点拨]求点x0附近的平均变化率可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式求解.(2019·滁州月考)一个物体运动的位移和时间的关系为s＝t2－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体从开始到3秒末的平均速度是()A．2米/秒B．6米/秒C．3米/秒D．0米/秒解析：Δs＝(32－3)－(02－0)＝6，∴ΔsΔt＝63＝2(米/秒)，即物体从开始到3秒末的平均速度是2米/秒，故选A.答案：A题型二求瞬时速度一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路探索】(1)物体的初速度是指t＝0时的速度；(2)在t＝2时的瞬时速度是指物体在t＝2这一时刻的速度，求s′(2)＝limΔt→0ΔsΔt；(3)平均速度是指t＝0到t＝2这段时间的速度，即求ΔsΔt.【解】(1)当t＝0时的速度为初速度，在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]即[0，Δt]则Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，∴ΔsΔt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝6＋3Δt－4－4Δt－(Δt)2－2＝－Δt－(Δt)2，∴ΔsΔt＝－Δt－Δt2Δt＝－1－Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1.∴当t＝2时的瞬时速度为－1.(3)当t＝0到t＝2时，Δt＝2－0＝2，Δs＝s(2)－s(0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2，∴v－＝ΔsΔt＝22＝1，∴在t＝0到t＝2时的平均速度为1.[名师点拨](1)不要认为t＝0时的路程s＝0，初速度是0.(2)物体运动的规律s＝s(t)，其瞬时速度就是s′(t0)＝limΔt→0ΔsΔt.(2019·上饶月考)物体运动的位移s与时间t的关系为s＝14t4＋1，则t＝5时瞬时速度为()A．625B．125C．126D．5解析：∵ΔsΔt＝145＋Δt4＋1－14×54－1Δt＝14(Δt3＋20Δt2＋150Δt＋500)，∴limΔt→0ΔsΔt＝14×500＝125，∴t＝5时，瞬时速度为125，故选B.答案：B题型三用定义求函数的导数(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝1x在x＝a(a≠0)处的导数．【思路探索】求增量Δy→求商ΔyΔx→求极限得导数．【解】(1)解法一：∵Δy＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝12.解法二：∵Δy＝x＋Δx－x，∴ΔyΔx＝x＋Δx－xΔx＝1x＋Δx＋x.∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx＋x＝12x，∴y′|x＝1＝12.(2)∵Δy＝1a＋Δx－1a＝a－a＋Δxaa＋Δx＝－Δxaa＋Δx，∴ΔyΔx＝－Δxaa＋Δx·1Δx＝－1aa＋Δx.∴y′|x＝a＝limΔx→0－1aa＋Δx＝－1a2.[名师点拨]用定义求函数的导数，有两种基本方法：一是直接用导数的定义(见解法一)，二是先求导数，再求导数值(见解法二).(2019·长春月考)已知f(x)＝x2＋x－1，则f′(1)＝()A．1B．2C．3D．4解析：f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx2＋1＋Δx－12＋1Δx＝limΔx→03Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(3＋Δx)＝3.故选C.答案：C题型四导数的实际意义建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．【思路探索】根据导数的定义，求出函数y＝f(x)在x＝100处的瞬时变化率即可，最后由瞬时变化率解释f′(100)的意义．【解】∵Δy＝f(100＋Δx)－f(100)＝100＋Δx＋100＋Δx＋310－100＋100＋310＝Δx＋100＋Δx－1010，∴ΔyΔx＝110＋100＋Δx－1010Δx＝110＋110100＋Δx＋10.∴f′(100)＝limΔx→0110＋1100＋Δx＋1010＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元.[名师点拨]函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，反映了函数在该点的瞬时变化率，也揭示了事物在某时刻的变化情况.已知某金属的表面温度y(℃)关于时间t(h)的关系式为y＝4－2t＋t2(0≤t≤3)．计算t＝1和t＝2时，金属表面温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：Δy＝f(t＋Δt)－f(t)＝[4－2(t＋Δt)＋(t＋Δt)2]－(4－2t＋t2)＝－2Δt＋2tΔt＋(Δt)2，∴ΔyΔt＝－2Δt＋2tΔt＋Δt2Δt＝－2＋2t＋Δt.∴y′|t＝1＝limΔt→0(－2＋2t＋Δt)＝(－2＋2t)|t＝1＝0；f′(2)＝limΔt→0(－2＋2t＋Δt)＝(－2＋2t)|t＝2＝2.所以在t＝1时，金属表面温度的瞬时变化率为0，说明此时表面温度大致不变；在t＝2时，金属表面温度的瞬时变化率为2，说明此时表面温度大约以2℃/h的速率上升．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．在变化率的定义中，自变量x的增量Δx()A．大于0B．小于0C．等于0D．不等于0答案：D2．(2019·北重五中月考)y＝2x＋1在P(1,3)处的瞬时变化率为()A．0B．1C．2D．3解析：limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→021＋Δx＋1－3Δx＝2，故选C.答案：C3．若f′(x0)＝2，则limΔx→0fx0－2Δx－fx0Δx＝()A．－4B．－14C．－2D．2解析：limΔx→0fx0－2Δx－fx0Δx＝－2limΔx→0fx0－2Δx－fx0－2Δx＝－2f′(x0)＝－4.故选A.答案：A4．(2019·民族中学月考)已知函数f(x)＝ax＋4，若limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝2，则实数a的值为()A．2B．－2C．3D．－3解析：∵limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0a1＋Δx＋4－a－4Δx＝a，∴a＝2，故选A.答案：A5．一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．解：∵ΔyΔt＝f2＋Δt－f2Δt＝32＋Δt－3×2Δt＝3，∴f′(2)＝limΔt→0ΔyΔt＝3.f′(2)＝3的意义是：水流在2s时的瞬时流量为3m3/s，即如果保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.