2019-2020学年高中数学 第3章 不等式章末复习与总结课件 新人教A版必修5

章末复习与总结1．新定义问题【例1】规定A⊕B＝A2＋B2，A⊖B＝A·B，A，B∈R.若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断M⊕N与M⊖N的大小．[解]∵M⊕N＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2，M⊖N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，∴M⊕N－M⊖N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，故M⊕N≥M⊖N.[方法总结](1)理解题目中的新定义：A⊕B即A与B的平方和运算，A⊖B即A与B的乘积运算．(2)本题考查的实质是比较两个代数式的大小，搞清楚问题实质是解决此类问题的关键.2.与数列的创新交汇问题在高考试题中数列与不等式的结合是一种常见的考查方式，通常用到的方法有放缩法以及函数方法(用函数求最值等)，考查方式较为灵活．【例2】在正项等比数列{an}中，a2a8＝125，a1＋a9的最小值是m，且3a＝m，其中a∈(k，k＋1)，则整数k＝_____________.[解析]由题意得a2a8＝a1a9，且{an}是正项等比数列，所以a1＋a9≥2a1a9＝2a2a8＝2125＝25，即m＝25.则3a＝25.因为3－1＝13251＝30，所以－1a0.又kak＋1，则k＝－1.[答案]－13．探究创新问题【例3】由于市政府规划，需要对一长方形居民小院进行搬迁．政府承诺在给予建筑费用补贴的基础上，用一等面积或等周长的正方形地块交换，从居民自身利益考虑，是选择等面积还是等周长呢？请你帮他算一算．[解]设原长方形居民小院长为a，宽为b，则面积为ab，周长为2(a＋b)．则与其等周长的正方形面积为：2(a＋b)42＝a＋b22.∵a＋b2ab(a≠b)，∴a＋b22ab.所以选择等周长正方形的地块对居民有利.[方法总结]用数学知识解决实际问题，首先要将实际问题数学化，即从问题本身找到与数学知识的联系，建立相关数学模型，弄清问题属于哪种数学知识的范畴，然后利用相关知识解决.1．分类讨论思想在不等式中的应用解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．【例1】已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.[解](1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.所以，当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.2．等价转化思想在不等式中的应用【例2】(2018·银川一中检测)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．[－2，＋∞)C．[－2,2]D．[0，＋∞)[解析]当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，则有a≥－1－|x|2|x|＝－|x|＋1|x|，设f(x)＝－|x|＋1|x|，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋1|x|≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.[答案]B[方法总结]不等式恒成立问题常用参数分离法，分离参数后转化为最值问题．【例3】若不等式x2＋ax＋3－a0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．[解]设f(x)＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒有f(x)0，只需满足：①Δ＝a2－4(3－a)0；②Δ＝a2－43－a≥0，f2＝7＋a0，－a22或Δ＝a2－43－a≥0，f－2＝7－3a0，－a2－2，解①②得，当－7a2时，不等式x2＋ax＋3－a0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立．[方法总结]一元二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足不等式组，也可利用函数最值进行转化，即转化为求函数的最值问题．3．数形结合思想在不等式中的应用【例4】已知变量x，y满足约束条件x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0，若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是()A.23，＋∞B．－∞，13C.12，＋∞D．13，＋∞[解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，所以－a－12，即a12，故实数a的取值范围是12，＋∞.故选C.[答案]C[方法总结]充分利用数形结合思想，结合图形分析作出判断.易错点1解含参数的分式不等式中分类讨论不全致误【例1】解关于x的不等式ax－1x＋10(a∈R)．[辨析](1)由分式不等式转化为整式不等式易出现忽略分母不为0的错误．(2)分类讨论时不讨论二次项系数中的参数而导致讨论不全面．[解]原不等式等价于(ax－1)(x＋1)0.当a＝0时，由－(x＋1)0，得x－1；当a0时，不等式化为x－1a(x＋1)0，解得x－1或x1a；当a0时，不等式化为x－1a(x＋1)0，①若－1a0，即1a－1，则1ax－1；②若a＝－1，即1a＝－1，则不等式无解；③若a－1，即1a－1，则－1x1a.综上知，当a－1时，解集为x－1x1a；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当－1a0时，解集为x1ax－1；当a＝0时，解集为{x|x－1}；当a0时，解集为xx－1或x1a.[防范措施]含参数的分式不等式转化为整式不等式时，若二次项系数含参数，则应优先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．易错点2忽视等号成立的条件【例2】已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝x＋1xy＋1y的最小值为_____________．[错解]错解一：因为对a0，恒有a＋1a≥2，从而z＝x＋1xy＋1y≥4，所以z的最小值是4.错解二：z＝2＋x2y2－2xyxy＝2xy＋xy－2≥22xy·xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值为2(2－1)．[辨析]错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．[正解]z＝x＋1xy＋1y＝xy＋1xy＋yx＋xy＝xy＋1xy＋x＋y2－2xyxy＝2xy＋xy－2，令t＝xy，则0t＝xy≤x＋y22＝14，由f(t)＝t＋2t在0，14上单调递减，故当t＝14时，f(t)＝t＋2t有最小值334，所以当x＝y＝12时，z有最小值254.[防范措施]1.在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋3x(x0)有最大值1－26，而不是有最小值1＋26.2．当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．易错点3忽视问题实际情况致误【例3】某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35kg，价格为140元；另一种是每袋24kg，价格为120元．在满足需要的条件下最少要花费多少钱？[错解]设分别购买两种包装的原料x袋、y袋，由题意可得35x＋24y≥106，x≥0，y≥0，花费z＝140x＋120y.画出可行域如图所示．由图可知，当直线y＝－76x＋z120经过可行域上的点A时为最优解，解得A10635，0.当x＝10635，y＝0时，zmin＝140×10635＋120×0＝424(元)．即当购买第一种原料10635袋时，花费最少为424元．[辨析]在实际问题当中，购买原料时须是整袋购买，即x，y均为整数，而上述解法中x＝10635∉Z，所以解法不正确，应调整最优解，找整数解．[正解]设分别购买两种包装的原料x袋、y袋，由题意可得35x＋24y≥106，x≥0，y≥0，x∈Z，y∈Z，花费z＝140x＋120y.画出可行域如图所示．由图可知，当直线y＝－76x＋z120经过可行域上的点A为最优解，解得A10635，0.由于x＝10635∉Z，应调整最优解．在可行域内，点A附近的整数点有B(4,0)，C(3,1)，D(2，2)，E(1,3)，将它们分别代入线性目标函数z＝140x＋120y，可得zB＝560，zC＝540，zD＝520，zE＝500.∴当x＝1，y＝3时，zmin＝500(元)．即当购买第一种原料1袋，第二种原料3袋时，花费最少，为500元．[防范措施]当线性规划的实际问题需要整数解时，一般通过以下三种方法解决：(1)直线平移法．先在可行域中画出网格，再描整数点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)检验优值法．当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解．(3)调整优值法．先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．