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第三章不等式3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域学习目标核心素养1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组)．2．了解二元一次不等式的几何意义．3．会画二元一次不等式(组)表示的平面区域．(重点、难点)1.通过二元一次不等式的几何意义的学习，培养学生的数学抽象的素养．2．通过二元一次不等式(组)表示的平面区域的学习，提升学生的直观想象素养.自主预习探新知1．二元一次不等式的概念我们把含有_____未知数，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组的概念我们把由几个_______________组成的不等式组，称为二元一次不等式组．两个二元一次不等式13．二元一次不等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个___，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的_____．4．二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足_____________.②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足____________.解解集ax＋by＋c＝0ax＋by＋c0(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成_____，表示平面区域包括这一边界直线；画成_____表示平面区域不包括这一边界直线．(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都_____．②在直线ax＋by＋c＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号可以断定ax＋by＋c0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域．实线虚线相同ax0＋by0＋c5．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的__________．公共部分1．由不等式3x＋2y＋6≤0表示的平面区域(阴影部分)是()D[把(0,0)点代入3x＋2y＋6≤0中可知6≤0不成立，即(0,0)不在3x＋2y＋6≤0所表示的平面区域内，结合直线过点(0，－3)和(－2,0)可知D正确．]①②③[将点的坐标代入，只有①②③满足上述不等式．2．以下各点在3x＋2y＜6表示的平面区域内的是____________．①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．mm－12[因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)0，解得m－12.]3．已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．合作探究提素养二元一次不等式表示的平面区域【例1】画出下面二元一次不等式表示的平面区域：(1)x－2y＋4≥0；(2)y2x.[解](1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝40，∴x－2y＋40表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－20，∴y－2x0(即y2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．1．(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________．(2)画出不等式2x＋y－40表示的平面区域．[解](1)由截距式得直线方程为x2＋y1＝1，即x＋2y－2＝0.因为0＋2×0－20，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x＋2y－20表示．(2)先画直线2x＋y－4＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入，得2x＋y－4＝2×0＋0－4＝－40，所以不等式2x＋y－40表示的区域是直线2x＋y－4＝0右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示．二元一次不等式组表示的平面区域【例2】画出下列不等式组所表示的平面区域：(1)x－2y≤3，x＋y≤3，x≥0，y≥0；(2)x－y2，2x＋y≥1，x＋y2.[解](1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；x≥0表示y轴及其右边区域；y≥0表示x轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x－y2，即x－y－20，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；x＋y2表示直线x＋y＝2左下方区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：(1)画线；(2)定侧；(3)求“交”；(4)表示．2．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域．[解]此不等式可转化为x＋2y＋1≥0，x－y＋4≤0或x＋2y＋1≤0，x－y＋4≥0.分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．二元一次不等式(组)表示平面区域的应用[探究问题]1．若点P(1,2)，Q(1,1)在直线x－3y＋m＝0的同侧，如何求m的取值范围？[提示]直线x－3y＋m＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x－3y＋m＝0上的点和在直线x－3y＋m＝0两侧的点，而在直线x－3y＋m＝0同侧点的坐标，使x－3y＋m的值同号，异侧点的坐标使x－3y＋m的值异号．故有(1－3×2＋m)(1－3×1＋m)0，即(m－5)(m－2)0，所以m5或m2.2．不等式组x＋y2，x－y0，x4表示的区域是什么图形？你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？[提示]不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC，该三角形的面积为S△ABC＝12×6×3＝9.若该图形不是规则的图形，我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．3．点(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式组x＋y2，x－y0，x4表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？[提示]若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等式组表示的平面区域内．经代入检验可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)中只有点(2,1)在不等式组表示的平面区域内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x＝1，则不等式组可化为y1，y1，14，显然该不等式组无解；再令x＝2，则原不等式组化为y0，y2，24，则0y2，又因为y∈Z，故y＝1，所以x＝2时只有一个整点．同样方法x＝3时，有(3,0)，(3,1)，(3,2)三个整点在该区域内；x＝4时在该区域内没有整点．总之在不等式组x＋y2，x－y0，x4表示的平面区域内，共有4个整点．当然，也可在作图时，利用打网格线的方法寻求．【例3】已知不等式组x0，y0，4x＋3y≤12.(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)求不等式组所表示的平面区域的面积；(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．[思路探究](1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？[解](1)不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图①所示．(2)如图①所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S＝12×4×3＝6.(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤83，∴整点为(1,2)，(1,1)．当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤43，∴整点为(2,1)．∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)．如图②.1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[解]设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则2x＋3y≤14，2x＋y≤9，x≥0，y≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．1．本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定，难点是二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．2．本节课要掌握的规律方法(1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法．(2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法．3．本节课的易错点为：画平面区域时，注意边界线的虚实问题．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二元一次不等式x＋y2的解有无数多个．()(2)二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合．()(3)二元一次不等式组中的每个不等式都必须是二元一次不等式．()[解析](1)√.因为满足x＋y2的实数x，y有无数多组，故该说法正确．(2)√.因为二元一次不等式(组)的解为有序数对(x，y)，有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．故该说法正确．(3)×.因为在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如2x＋y－1≥0，3x＋20也称为二元一次不等式组．[答案](1)√(2)√(3)×2．下面给出的四个点中，位于x＋y－1＜0，x－y＋1＞0表示的平面区域内的点是()A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)C[依次将A，B，C，D四个选项代入验证即可，只有C符合条件.]3．下列说法正确的是________．(填序号)①由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域；②点(1,2)在不等式2x＋y－1＞0表示的平面区域内；③不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的；④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．②④[①错误．因为不等式2x－10虽然不是二元一次不等式，但它表示直线x＝12右侧的区域．②正确．因为(1,2)是不等式2x＋y－10的解．③错误．因为不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域不包括边界Ax＋By＋C＝0，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界Ax＋By＋C＝0.④正确．因为第二、四象限区域内的点(x，y)中x，y异号，故xy0.该说法正确．]4．在平面直角坐标系中，