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第1页4．3简单线性规划的应用第2页要点应用线性规划解决实际问题的类型第3页解决线性规划实际应用问题的常见错误．第4页答：(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”“至少”等线性约束条件而出现失误．(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确．(3)最优解为“整点”时不会寻找“最优整点解”．处理此类问题时，一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x＝k或y＝k，k∈Z)．第5页授人以渔第6页题型一最值问题例1某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？第7页【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元．由题意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3000x＋2000y.第8页二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.第9页平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立x＋y＝300，5x＋2y＝900.解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100，200)．∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．第10页探究1解线性规划应用题的步骤：①审题(需要时可列表分析)；②设相关变量，列出目标函数和线性约束条件(不等式组)；③作图，确定可行域；④找最优解，求出目标函数的最值；⑤回答实际问题．第11页●思考题1某企业生产A，B两种产品，每生产一吨产品所需要的劳动力和煤、电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(度)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200度，试问该企业生产A，B两种产品各多少吨时，才能获得最大利润？最大利润为多少？第12页【解析】设生产A，B两种产品各为x，y吨，利润为z万元．由题意得3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥0，y≥0，z＝7x＋12y.第13页作出不等式组表示的平面区域(如图)．将目标函数z＝7x＋12y转化为直线l：y＝－712x＋z12.这是一条斜率为－712，在y轴上的截距为z12的直线，当z变化时，可以得到一组平行直线．直线与阴影部分的交点满足不等式组，且当截距z12最大时，目标函数取得最大值．第14页由图可知，当直线l经过M点时，在y轴上的截距最大，此时z取最大值．由3x＋10y＝300，4x＋5y＝200，得x＝20，y＝24，即M(20，24)．故zmax＝20×7＋12×24＝428(万元)．第15页答：该企业生产A产品20吨，B产品24吨时，可以获得最大利润，最大利润为428万元．【讲评】解线性规划应用题，要认真审清题意，获得准确的线性约束条件，准确作图，利用图解法求得结论．第16页题型二最优整数解问题例2要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？第17页【思路分析】设变量，列出线性约束条件，画出可行域，可用不同的方法求整点最优解．第18页【解析】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．可得2x＋y≥15，x＋2y≥18，x＋3y≥27，x≥0，y≥0，且x，y都是整数．第19页求目标函数z＝x＋y取最小值时的x，y.作可行域如图所示，平移直线z＝x＋y可知直线经过点(185，395)，此时x＋y＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点(185，395)不是最优解，如何求整点最优解呢？第20页方法一平移求解法首先在可行域内打网格，其次描出A(185，395)附近的所有整点，接着平移直线l：x＋y＝0，会发现当移至B(3，9)，C(4，8)时，即z的最小值为12.第21页方法二特值验证法由方法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次满足条件的整点A0(0，15)，A1(1，13)，A2(2，11)，A3(3，9)，A4(4，8)，A5(5，8)，A6(6，7)，A7(7，7)，A8(8，7)，A9(9，6)，A10(10，6)，…，A27(27，0)．第22页将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3，9)和A4(4，8)处z取得最小值，其解法的思路是找整点、验证算、选优解．第23页方法三调整优值法由非整点最优解(185，395)，z＝575，∴z≥12.令x＋y＝12，y＝12－x代入约束条件整理得3≤x≤92，∴x＝3和x＝4，这时最优整点为(3，9)和(4，8)．调整优值法的解法思路是先求非整点最优解，再借助不定方程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．第24页答：本例有两种截法．第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法最少要截两种钢板共12张．第25页探究2对于线性规划中的最优整数解问题，当解方程得到的解不是整数解时，常用下面的一些方法求解：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解．(3)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．第26页●思考题2配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，问最多能各配几剂？第27页【解析】设A，B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N*，则有不等式组x≥1，y≥1，3x＋5y≤20，5x＋4y≤25⇒x≥1，y≥1，y≤－3x5＋4，y≤－54x＋254.第28页符合条件的解集是以直线x＝1，y＝1，y＝－3x5＋4，y＝－54x＋254为边界所围成的区域(如图中的阴影部分)，这个区域内的整数点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)．所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配四剂，B种药最多配三剂．第29页【讲评】正确画出可行域，从可行域中找出整数点解，可知当B种药保证一剂时，A种药可最多配4剂，同理B种药最多配3剂，应正确理解整数点解的含义．第30页课后巩固第31页1．有一批铜管，长为4000cm，要截成500cm和660cm两种毛坯料，且这两种毛坯料数量之比大于13，若要截得最合理，截取方案数为()A．3B．4C．5D．6答案C第32页2．配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)原料药剂甲乙A25B54药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元，200元，现有原料甲20kg，原料乙25kg，那么可以获得的最大销售额为()A．600元B．700元C．800元D．900元第33页答案C第34页3．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得是大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为()货物体积每箱(m3)质量每箱(50kg)利润每箱(百元)甲5220乙4510托运限制2413A.4，1B．3，2C．1，4D．2，4第35页答案A解析设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意，得5x＋4y≤24，2x＋5y≤13，x，y∈N*，利润z＝20x＋10y.由线性规划知识可得x＝4，y＝1时，利润最大．第36页4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200m2，获利300万；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100m2，获利200万．现某单位可使用资金1400万元，场地900m2，为使获利最大，应生产A产品________百吨，生产B产品________百吨．答案3.252.5第37页5．某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲢鱼．现在供两种鱼苗生产的A鱼料1000g，B鱼料900g，放养每千克鲫鱼苗需A鱼料10g，B鱼料15g；放养每千克鲢鱼需A鱼料10g，B鱼料5g，当两种鱼苗长到成鱼时，鲫鱼和鲢鱼分别是当时放养鱼苗重量的60倍与40倍．问如何放养这两种鱼苗，才能使成鱼的重量最大．第38页解析设放养鲫鱼苗xkg，鲢鱼苗ykg，由题意得10x＋10y≤1000，15x＋5y≤900，x≥0，y≥0，目标函数为z＝60x＋40y，第39页作出可行域如图的阴影部分，将直线60x＋40y＝z进行平移，当此动直线经过点P时，纵截距z40最大，即z最大．解方程组10x＋10y＝1000，15x＋5y＝900得点P坐标为(40，60)，所以当x＝40，y＝60时，zmax＝60×40＋40×60＝4800(kg)．答：放养鲫鱼40kg，鲢鱼60kg，可使成鱼重量最大．第40页