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第1页§4简单线性规划4．1二元一次不等式(组)与平面区域第2页要点1二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．第3页要点2二元一次不等式表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．第4页要点3(1)二元一次不等式组．关于两个未知数的几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．(2)二元一次不等式组表示的平面区域．二元一次不等式组表示的平面区域是每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分．第5页1．如何判定二元一次不等式表示的平面区域？答：判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C0为例)．(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．第6页(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点等．第7页2．判断一个二元一次不等式表示对应直线的哪一侧，通常有两种方法：第8页答：(1)特殊点法．作出直线Ax＋By＋C＝0，在直线的一侧任取一点P(x0，y0)．若Ax0＋By0＋C0，则包含此点P的半平面为不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域．第9页(2)观察法．①先将不等式化为一般形式Ax＋By＋C0(或≥0或0或≤0)，其中A≥0.②当A＝0时较易判定；当A≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴相交．第10页③不等式Ax＋By＋C0取右侧区域，Ax＋By＋C0取左侧区域，如图①②.第11页授人以渔第12页题型一二元一次不等式表示的区域例1分别画出下列不等式表示的平面区域：(1)3x－4y－12≥0；(2)3x＋2y＜0.第13页【思路分析】先画出直线，在直线两侧的任一侧平面区域内取一点进行分析．图(1)图(2)第14页【解析】(1)先画直线3x－4y－12＝0.取原点(0，0)，代入3x－4y－12，得－12＜0，所以原点在3x－4y－12＜0表示的平面区域内．不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图(1)所示．第15页(2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．取点(1，0)，代入3x＋2y，得3＞0，所以点(1，0)在3x＋2y＞0表示的平面区域内．不等式3x＋2y＜0表示的平面区域如图(2)所示．第16页探究1(1)在①中直线不过原点，可选(0，0)作为测试点判断，在②中直线过原点，可选(1，0)点来判断，不管选哪个点来判断，都要遵循最简化原则．画边界直线时，不含等号画虚线，含等号画实线．(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域．②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．第17页●思考题1(1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的()第18页【解析】x－2y＝0的斜率为12，排除C，D.又大于0表示直线右侧，选B.【答案】B第19页(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的()A．右上方B．左上方C．右下方D．左下方第20页【解析】数形结合．【答案】D第21页例2点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则()A．a＜－7或a＞24B．－7＜a＜24C．a＝－7或a＝24D．以上都不对第22页【解析】∵(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，∴(9－2＋a)·(－12－12＋a)0，即(a＋7)(a－24)0.∴－7a24.选B.【答案】B第23页探究2同侧同号，异侧异号！第24页●思考题2点(3，1)不在直线3x－2y＋a＝0的右侧，则a的范围为________．【解析】不在右侧，则在直线上或直线左侧，∴3×3－2×1＋a≤0，∴a≤－7.【答案】(－∞，－7]第25页题型二不等式组表示的平面区域例3画出不等式组x＋2y－1＞0，2x＋y－5≤0，y＜x＋2所表示的平面区域．第26页【思路分析】解决这种问题的关键在于正确地描绘出边界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．第27页【解析】先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将直线画成虚线，∵0＋0－10，∴原点在它的相反区域内．再画直线2x＋y－5＝0，由于带有等号，从而将直线画成实线，∵0＋0－50，∴原点在该不等式表示的区域内．第28页最后画直线y＝x＋2，由于不等式不带等号，从而将直线画成虚线．∵20，∴原点在该不等式表示的区域内．如图所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域．第29页探究3解决类似本题的问题时，先应对每一个不等式所表示的平面区域作出正确的判断，保证不因某一个不等式所表示的平面区域搞错而产生失误，其次应注意所表示的平面区域是否包括边界．第30页画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”，即先画出对应的直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比0大还是比0小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分．第31页●思考题3(2014～2015·河南禹州高二期中测试)不等式组y≤x，x＋2y≤4，y≥－2，表示的平面区域的面积为()A.253B.503C.1003D.103第32页【解析】不等式组y≤x，x＋2y≤4，y≥－2，表示的平面区域如图所示．第33页由y＝－2，x－y＝0，得x＝－2，y＝－2.由y＝－2，x＋2y－4＝0，得x＝8，y＝－2.由x－y＝0，x＋2y－4＝0，得x＝43，y＝43.∴A(43，43)，B(－2，－2)，C(8，－2)．第34页∴BC＝10，点A到边BC的距离d＝43－(－2)＝103.∴平面区域的面积为S＝12×10×103＝503.【答案】B第35页题型三由区域求约束条件例4(1)购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有2张．如果小明带有10元钱，那么小明有________种买法．第36页【解析】设购买8角和2元的邮票分别为x张，y张，则0.8x＋2y≤10，x≥2，y≥2，x，y∈N*，即2x＋5y≤25，x≥2，y≥2，x，y∈N*，当y＝2时，2x≤15，所以2≤x≤7，有6种；第37页当y＝3时，2x≤10，所以2≤x≤5，有4种；当y＝4时，2x≤5，所以2≤x≤2，所以x＝2有1种；当y＝5时，2x≤0，又x≥2，有0种；综上可知，不同买法有：6＋4＋1＝11种．【答案】11第38页(2)(2015·宿州高二检测)某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多2500件，月产Q产品最多1200件；而且组装一件P产品要4个零件A，2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A，8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个，B零件最多12000个．用数学关系式和图形表示上述要求．第39页【解析】设分别生产P，Q产品x件，y件，依题意则有4x＋6y≤14000，2x＋8y≤12000，0≤x≤2500，0≤y≤1200，x，y∈N，用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图阴影部分的整点．第40页探究4用二元一次不等式组表示实际问题的方法：用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时：(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．第41页(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式．(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．第42页●思考题4甲、乙、丙三种药品中毒素A，B的含量及成本如下表：甲乙丙毒素A(单位/千克)600700400毒素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)4911某药品研究所想用x千克甲种药品，y千克乙种药品，z千克丙种药品配成100千克新药，并使新药含有毒素A不超过56000单位，毒素B不超过63000单位．用x，y表示新药的成本M(元)，并画出相应的平面区域．第43页【解析】由已知，得x＋y＋z＝100.因为M＝4x＋9y＋11z＝4x＋9y＋11(100－x－y)＝1100－7x－2y，又600x＋700y＋400(100－x－y)≤56000，800x＋400y＋500(100－x－y)≤63000，于是满足以下条件：2x＋3y≤160，3x－y≤130，x＋y≤100，x≥0，y≥0，第44页在直角坐标系中可表示成图中的平面区域(阴影部分)．第45页课后巩固第46页1．不等式组yx，x＋y≤1，y≥－3，表示的区域为D，点P1(0，－2)，P2(0，0)，则()A．P1∉D且P2∉DB．P1∉D且P2∈DC．P1∈D且P2∉DD．P1∈D且P2∈D答案C第47页2．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是()A.y≥－1，2x－y＋3≥0B.y≥－1，2x－y＋2≤0C.x≤0，y≥－1，2x－y＋2≥0D.x≤0，y≥－1，2x－y＋2≤0第48页答案C第49页3．已知点(2，2)和(－3，3)在直线x＋2y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是()A．m－6或m－3B．m＝－6或－3C．－6m－3D．m－3第50页答案C解析由题意得(2＋2×2＋m)(－3＋2×3＋m)0，∴－6m－3.第51页4．不等式组x＋y＋1≥0，x0，y0，表示的平面区域的面积为()A．1B.12C.2D．22答案B第52页5．某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳．已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张可做A，B的外壳分别为3个和5个；乙种薄钢板每张可做A，B的外壳各6个，请列出满足上述生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．第53页解析设用甲、乙两种薄钢板分别为x张，y张，则可做A种外壳3x＋6y个，B种外壳5x＋6y个，依题意得3x＋6y≥45，5x＋6y≥55，x∈N，y∈N.第54页用图形表示以上限制条件，得到平面区域，如图阴影部分整点所示．第55页