2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.4 基本不等式课件 新人教A版必修5

第三章不等式3.4基本不等式：ab≤a＋b2学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)．1.通过利用基本不等式比较大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养.2.借助利用基本不等式求最值和基本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养.自主预习探新知1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2__2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．≥思考：如果a0，b0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？[提示]a＋b≥2ab.2．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：________________；(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．a，b均为正实数a＝b[提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b2成立的条件是a，b均为正实数．思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？3．算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为____；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数______它们的几何平均数．ab不小于思考：a＋b2≥ab与a＋b22≥ab是等价的吗？[提示]不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，b∈R.4．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s2时，积xy有最__值为__．(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝p时，和x＋y有最__值为____．大s24小2p5．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是____．(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为____；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为____．(3)等号成立的条件是否满足．正数定值定值[提示]三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？1．不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的前提条件为()A．x≥2yB．x＞2yC．x≤2yD．x＜2yB[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.]2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________．400[因为x，y都是正数，且x＋y＝40，所以xy≤x＋y22＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．]3．把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.16[设一边长为xm，则另一边长可表示为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤x＋8－x22＝16，当且仅当x＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4m时面积取到最大值16m2.]4．给出下列说法：①若x∈(0，π)，则sinx＋1sinx≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2lga·lgb；③若x∈R且x≠0，则x＋4x≥4.其中正确说法的序号是________．①③[①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0，1]，所以①成立；②只有在lga0，lgb0，即a1，b1时才成立；③x＋4x＝|x|＋4x≥2|x|·4x＝4成立．]合作探究提素养利用基本不等式比较大小【例1】已知0a1，0b1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中哪一个最大？[解]法一：因为a0，b0，所以a＋b≥2ab，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.又因为0a1，0b1，所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)0，所以a2＋b2a＋b，所以a＋b最大．法二：令a＝b＝12，则a＋b＝1，2ab＝1，a2＋b2＝12，2ab＝2×12×12＝12，再令a＝12，b＝18，a＋b＝12＋18＝58，2ab＝212×18＝12，所以a＋b最大．(1)在使用基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)时，要注意不等式的双向性．①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤a＋b22；②从右到左：常使用a＋b≥2ab.(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性．1．(1)已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．(2)若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是________．(1)mn(2)PQR[(1)因为a2，所以a－20，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b22，n＝22－b24，综上可知mn.(2)因为ab1，所以lgalgb0，所以Q＝12(lga＋lgb)lga·lgb＝P；Q＝12(lga＋lgb)＝lga＋lgb＝lgablga＋b2＝R.所以PQR.]利用基本不等式证明不等式【例2】已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋cab＋bc＋ca.思路探究：构造基本不等式的条件→运用基本不等式证明→判断等号成立的条件→得出结论[解]∵a0，b0，c0，∴a＋b≥2ab0，b＋c≥2bc0，c＋a≥2ca0，∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋cab＋bc＋ca.1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.[证明]因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca.同理，1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．基本不等式的实际应用【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：(1)已知a＋b为定值，如何求ab的最大值？(2)已知ab为定值，如何求a＋b的最小值？[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x0，∴9－32y0，∴0y6，S＝xy＝9－32yy＝32(6－y)·y.∵0y6，∴6－y0，∴S≤32·（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3yxy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616y＋y≥6×216y·y＝48.当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．[解]设污水池的长为x米，则宽为400x米，总造价y＝(2x＋2·400x)·200＋2×250·400x＋80×400＝400x＋900x＋32000≥400×2x·900x＋32000＝56000(元)，当且仅当x＝900x，即x＝30时取等号．故污水池的长为30米、宽为403米时，最低造价为56000元．利用基本不等式求最值[提示]最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a＋b2≥ab(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．[探究问题]1．由x2＋y2≥2xy知xy≤x2＋y22，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是x2＋y22吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？[提示]不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x0时，y＝－－x－1x≤－2（－x）·－1x＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋1x的最大值是－2.3．已知x≥3，求y＝x2＋4x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝x2＋4x＝x＋4x≥2x·4x＝4，∴当x≥3时，y＝x2＋4x的最小值为4.”[提示]不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋4x的单调性求解．【例4】(1)已知x54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知0x12，求y＝12x(1－2x)的最大值；(3)已知x0，求f(x)＝2xx2＋1的最大值；(4)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．(1)4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3.(2)12x(1－2x)＝14·2x·(1－2x)．(3)2xx2＋1＝2x＋1x.(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)1x＋9y.[解](1)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成