2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时课件 新人教A版必修5

第一课时基本不等式3.4基本不等式：ab≤a＋b2登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重点)．3．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题(难点)．知识点|利用基本不等式求最值阅读教材P99～P100，完成下列问题．‖知识梳理‖1．理论依据(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当1____________时，积xy有最2__________值，且这个值为s24.x＝y大(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当3_____________时，和x＋y有最4_____________值，且这个值为2p.x＝y小2．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是5_____________；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为6_____________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为7____________．(3)等号成立的条件是否满足．正数定值定值‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值．()(3)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值．()答案：(1)×(2)×(3)×‖小试身手‖1．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．210解析：选Da＋b≥2ab＝210，当且仅当a＝b＝10时等号成立．2．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10解析：选B由m2＋n2≥2mn得，mn≤m2＋n22＝50，当且仅当m＝n＝52时等号成立，故选B.剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一利用基本不等式求最值多维探究利用基本不等式求最值，常见的角度有：1．无限制条件的最值问题．2．有限制条件的最值问题．角度1无限制条件的最值问题【例1】(1)若x0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(2)若x2，求f(x)＝1x－2＋x的最小值；(3)已知0x12，求f(x)＝12x(1－2x)的最大值；(4)已知x1，求函数y＝x2＋2x－1的最小值．[解](1)因为x0，所以f(x)＝－－12x＋－3x≤－2－12x·－3x＝－12，当且仅当－12x＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以f(x)的最大值为－12.(2)因为x2，所以x－20，f(x)＝1x－2＋x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，所以f(x)的最小值为4.(3)因为0x12，所以1－2x0，f(x)＝12x(1－2x)＝14·2x(1－2x)≤142x＋(1－2x)22＝116，当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时等号成立，所以f(x)的最大值为116.(4)因为x1，所以x－10.设t＝x－1(t0)，则x＝t＋1，所以y＝x2＋2x－1＝(t＋1)2＋2t＝t＋3t＋2≥2t·3t＋2＝23＋2，当且仅当t＝3t，即t＝3，x＝3＋1时等号成立，所以f(x)的最小值为23＋2.[方法总结](1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．(2)常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．角度2有限制条件的最值问题【例2】已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y最小值．[解][解法一：代换法]∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy.∵x0，y0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.[解法二：消元法]由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.∵x0，y0，∴y9.x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y9，∴y－90，∴y－9＋9y－9≥2y－9y－9＝6.当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号，此时，x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.[解法三：配凑法]由1x＋9y＝1得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2x－y－＝16.当且仅当x－1＝y－9时取等号．又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.[方法总结]条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入函数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.1．已知函数f(x)＝－x2x＋1(x－1)，则()A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值－4解析：选Af(x)＝－x2x＋1＝－x2－1＋1x＋1＝－x－1＋1x＋1＝－x＋1＋1x＋1－2＝－(x＋1)＋1－x＋1＋2，因为x－1，所以x＋10，－(x＋1)0，所以f(x)≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝1－x＋1，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.故选A.2．(2019·日照模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式2a＋3b的最小值为()A．24B．25C．26D．27解析：选B因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a0，b0，即2a＋3b＝1，所以2a＋3b＝2a＋3b(2a＋3b)＝4＋9＋6ba＋6ab≥13＋26ba·6ab＝25，当且仅当6ba＝6ab，即a＝b＝15时取等号，所以2a＋3b的最小值为25.故选B.3．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则1a＋1＋1b＋3的最小值为_____________．解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴1a＋1＋1b＋3＝18[(a＋1)＋(b＋3)]1a＋1＋1b＋3＝182＋b＋3a＋1＋a＋1b＋3≥18×(2＋2)＝12，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴1a＋1＋1b＋3的最小值为12.答案：12题型二基本不等式的实际应用【例3】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|＝x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？[解](1)设休闲区的宽为am，则长为axm，由a2x＝4000，得a＝2010x.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·2010x＋160＝80102x＋5x＋4160(x1)．(2)由(1)知，S(x)＝80102x＋5x＋4160≥8010×22x×5x＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2x＝5x，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100m，宽40m.[方法总结]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.4．运货卡车以每小时xkm的速度匀速行驶130km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)设所用时间为t，则t＝130x(h)，y＝130x×2×2＋x2360＋14×130x，x∈[50,100]．所以这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130×18x＋1318x，x∈[50,100]．(2)y＝130×18x＋1318x≥2610，当且仅当130×18x＝1318x，即x＝1810时等号成立．故当x＝1810km/h，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．知识归纳自我测评堂内归纳提升1．把握求最值的3个条件①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．2．掌握3种方法利用基本不等式求条件最值的常用3种方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值．(2)构造法①构造不等式：利用ab≤a＋b22，将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值．(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值．3．辨析1个易错点在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋px(p0)的单调性求得函数的最值．「自测检评」1．(2019·泉州检测)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B．12C.34D．23解析：选C∵0x1，∴01－x1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋1－x22＝34.当且仅当x＝1－x，即x＝12时，“＝”成立．故选C.2．已知x0，y0，且x＋2y＝2，则xy()A．有最大值为1B．有最小值为1C．有最大值为12D．有最小值为12解析：选C因为x0，y0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2x·2y，即2≥22xy，xy≤12，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝12时，等号成立．所以xy有最大值，且最大值为12.故选C.3．若a1，则a＋1a－1的最小值是()A．2B．aC．2aa－1D．3解析：选D∵a1，∴a－10，∴a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2a－1·1a－1＋1＝3，当且仅当a－1＝1a－1，即a＝2时取等号．故选D.4．已知x1，y1且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2B．12C．14D．4解析：选D∵x1，y1，∴lgx0，lgy0，∴lgx·lgy≤lgx＋lgy22＝422＝4，当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时等号成立．故选D.5．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_____________．解析：由题意，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝49