2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时课件 新人教A版必修5

第一课时基本不等式3.4基本不等式：ab≤a＋b2登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．理解基本不等式的内容及证明(重点)．2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点)．知识点|基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．‖知识梳理‖1．重要不等式当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥1_________，当且仅当2_____________时，等号成立．2aba＝b2．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把3______叫做正数a，b的算术平均数，把4ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤5_____________，当且仅当6_____________时，等号成立．(3)变形：ab≤a＋b22≤a2＋b22，a＋b≥2ab(其中a0，b0，当且仅当a＝b时等号成立)．a＋b2a＝ba＋b2‖思考辨析‖1．如果a0，b0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？提示：a＋b≥2ab.2．不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？提示：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b2成立的条件是a，b均为正实数．3.a＋b2≥ab与a＋b22≥ab是等价的吗？提示：不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，b∈R.‖小试身手‖1．下列不等式正确的是()A．a＋1a≥2B．(－a)＋－1a≤－2C．a2＋1a2≥2D．(－a)2＋－1a2≤－2解析：选CA、B中a的范围不明确，故不正确；D中(－a)2＋－1a2＝a2＋1a2≥2，D不正确，故选C.2．若0ab且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A．12B．a2＋b2C．2abD．a解析：选B∵a＋b22≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a＋b22＝12，又ab≤a＋b24＝14，故a2＋b2最大．3．设a0，b0，给出下列不等式：①a2＋1a；②a＋1ab＋1b≥4；③(a＋b)1a＋1b≥4；④a2＋96a.其中恒成立的是_____________(填序号)．答案：①②③剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一利用基本不等式比较大小【例1】(1)已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．不确定(2)若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是_____________．[解析](1)因为a2，所以a－20，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b22，n＝22－b24，综上可知mn.(2)因为ab1，所以lgalgb0，所以Q＝12(lga＋lgb)lga·lgb＝P；Q＝12(lga＋lgb)＝12lgab＝lgablga＋b2＝R.所以PQR.[答案](1)A(2)PQR[方法总结]利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.1．若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_____________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.解析：对于①，ab≤a＋b22＝1，故①成立；对于②，欲证a＋b≤2，即证a＋b＋2ab≤2，即证2ab≤0，显然不成立；对于③，欲证a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即证4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立；对于④，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3⇔a2－ab＋b2≥32⇔(a＋b)2－3ab≥32⇔4－32≥3ab⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立；对于⑤，欲证1a＋1b≥2，即证a＋bab≥2，即ab≤1，由①知成立．答案：①③⑤题型二利用基本不等式证明不等式多维探究利用基本不等式证明不等式，常见的角度有：1．代换法证明不等式．2．字母轮换不等式的证法．角度1代换法证明不等式【例2】已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.[证明][证法一：代换法]∵a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，取“＝”，∴1a＋1b＋1c≥9.[证法二：配凑法]∵a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c＝1＋ba＋ca＋ab＋1＋cb＋ac＋bc＋1＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，取“＝”，∴1a＋1b＋1c≥9.[方法总结](1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．角度2字母轮换不等式的证法【例3】求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．[证明]先证a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，∴a4＋b4≥2a2b2，同理b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2，∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.再证a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)，∵a2b2＋b2c2＝b2(a2＋c2)≥2ab2c(等号在a＝c时成立)．同理a2b2＋a2c2≥2a2bc(等号在b＝c时成立)．b2c2＋a2c2≥2abc2(等号在a＝b时成立)．三式相加得，a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).[方法总结]证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证.2．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.证明：将a＋b＋c＝1，代入不等式的左端，得1a－11b－11c－1＝a＋b＋ca－1a＋b＋cb－1a＋b＋cc－1＝b＋ca·a＋cb·b＋ac≥2bca·2acb·2abc＝8bc·ac·ababc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．3．已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.证明：∵a2＋b22ab，b2＋c22bc，c2＋a22ca，以上三式相加，2(a2＋b2＋c2)2ab＋2bc＋2ca，∴a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.知识归纳自我测评堂内归纳提升1．记住1个重点基本不等式：a＋b2≥ab(a0，b0)．2．掌握5个变形由基本不等式变形得到的常见的结论①ab≤a＋b22≤a2＋b22；②ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈(0，＋∞))；③ba＋ab≥2(a，b同号)；④(a＋b)1a＋1b≥4(a，b同号)；⑤a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.「自测检评」1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0解析：选B当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时，a＝1，故选B.2．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD．ba＋ab≥2解析：选D由基本不等式知，只有D选项正确．3．已知0a1,0b1，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中哪一个最大？解：∵a0，b0，∴a＋b≥2ab，a2＋b2≥2ab，∴四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2.又∵0a1,0b1，∴a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)0，∴a2＋b2a＋b，∴a＋b最大．4．设a，b，c都是正数，试证明不等式：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.证明：因为a0，b0，c0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，bc＋cb≥2，所以ba＋ab＋ca＋ac＋bc＋cb≥6，当且仅当ba＝ab，ca＝ac，cb＝bc，即a＝b＝c时，等号成立．所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.