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3.3.2简单的线性规划问题第二课时线性规划的实际应用登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一线性规划的实际应用问题【例1】某公司计划2018年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300min的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？[解]设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为xmin和ymin，总收益为z元．由题意，得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0，目标函数z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z＝3000x＋2000y过点M时，z最大．由x＋y＝300，5x＋2y＝900得M(100,200)．所以zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元)＝70(万元)．所以该公司在甲电视台做100min广告，在乙电视台做200min广告，公司收益最大，最大值为70万元.[方法总结]解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(4)作答——对应用题提出的问题作出回答.1．某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：单位产品所需资金(百元)电子琴(架)洗衣机(台)月资金供应量(百元)成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68/试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？解：设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台(x，y∈N)，总利润为z百元，则根据题意，有x≥0，y≥0，30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，且z＝6x＋8y，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．作直线l：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.当移动直线l过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．解方程组30x＋20y＝300，5x＋10y＝110，得A(4,9)，代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．题型二实际应用中的最优整数解问题【例2】要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表所示：钢板类型规格类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A，B，C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？[解]设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张(x，y∈N)．可得2x＋y≥15，x＋2y≥18，x＋3y≥27，求目标函数z＝x＋y取得最小值时的x、y.作可行域如图所示，平移直线z＝x＋y，可知直线经过点A185，395，此时x＋y＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点A185，395不是最优解，如何求整点最优解呢？解法一：(平移求解法)：首先在可行域内打网格，其次描出A185，395附近的所有整点，接着平移直线l：x＋y＝0，会发现当移至B(3,9)、C(4,8)时，z取得最小值12.解法二：(特值验证法)：由方法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的地方，依次满足条件的整点A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4，8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值．解法三：(调整优值法)：由非整点最优解185，395，z＝575，∴z≥12.令x＋y＝12，y＝12－x代入约束条件整理得3≤x≤92，∴x＝3和x＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．故有两种截法：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法最少要截两种钢板共12张.[方法总结]线性规划应用问题中最优整数解确定方法如果已知条件要求的最优解是整数解，而用图解法得到的是非整数解，可用下面三种方法确定最优解．(1)平移直线法：先在可行域内打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点的坐标便是整点最优解.(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得最优解．(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优解，最后筛选出最优解．一般地，先考虑直线平移法和检验优值法，如果这两种方法都有困难，再用调整优值法.2．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)A(毫克/片)2510.1B(毫克/片)1760.2解：设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，则有2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28，x≥0，y≥0，两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.如图所示，作直线l：x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．解方程组2x＋y＝12，5x＋7y＝70，得交点A坐标149，809.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．知识归纳自我测评堂内归纳提升掌握3种整点最优解的确定方法寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．「自测检评」1．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件与B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为_____________元．解析：设甲、乙两种设备分别需要租用x，y天．根据题意得5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x∈N，y∈N，所需租赁费为z＝200x＋300y.作出可行域如图所示，将l0：2x＋3y＝0向可行域平移，因为－12－23－56，所以当直线经过M点时，z取最小值．由5x＋6y＝50，x＋2y＝14，得M(4,5)．∴zmin＝200×4＋300×5＝2300(元)．答案：23002．学校有线网络同时提供A，B两套选修课程．A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟．问两套选修课怎样合理选择，才能获得最高学分成绩？解：设选择A，B两套课程分别为x，y次，z为学分，则x＋y≤40，40x＋32y≤1400，20x＋40y≥1000，x，y∈N.目标函数z＝5x＋4y，可行域为如图所示阴影中的整点．由方程组解得点M(15,25)，B(25,12.5)，由于目标函数的斜率与直线MB的斜率相等，因此在图中阴影线段MB上的整数点M(15,25)，C(19,20)，D(23,15)都符合题意，使得学分最高为175分．故选A，B两套课程次数分别为15,25或19,20或23,15时能获得最高学分175分．