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第1页§3基本不等式(第一课时)第2页要点1当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．要点2基本不等式当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．第3页要点3基本不等式的应用(1)已知x，y都是正数，则：①如果积xy是定值P，那么当x＝y时，x＋y有最小值2P；②如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.(可简记为：积定和最小，和定积最大)(2)利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立．即“一正，二定，三相等”．第4页1．基本不等式：“当a，b都是正数时，有ab≤a＋b2”，如果将条件“a，b都是正数”改为“a，b都非负”，基本不等式是否还能成立？答：能成立，但要注意不等号的方向的变化．第5页2．基本不等式的常用推论：(1)ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)．(2)当x0时，x＋1x≥________；当x0时，x＋1x≤________．(3)当ab0时，ba＋ab≥________；当ab0时，ba＋ab≤________．(4)a2＋b2＋c2________ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．第6页答：(2)2－2(3)2－2(4)≥第7页3．函数y＝sin2x＋4sin2x的最小值是不是4？如不是，应为多少？第8页答：不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：sin2x＝4sin2x，即sinx＝±2，但此式不成立．应用单调性求解：设t＝sin2x(0t≤1)，则y＝t＋4t在(0，1]上单调递减，∴最小值为1＋41＝5.第9页授人以渔第10页题型一利用基本不等式比较大小例1已知a＞b＞1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，比较P，Q，R的大小．第11页【思路分析】比较P，Q，R三式结构，利用均值不等式及对数函数单调性比较出大小关系．第12页【解析】∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0.∴12(lga＋lgb)＞lga·lgb.故Q＞P.又由a＋b2＞ab，得lga＋b2＞lgab.即lga＋b2＞12(lga＋lgb)，故R＞Q.从而P＜Q＜R.第13页探究1(1)利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用方法．(2)代入特殊值，通过计算先估算大小关系，后比较大小更具有目标性．(3)以“函数为背景”的不等式考题是高考命题的热点，考查综合运用知识的能力．第14页●思考题1已知a，b∈(0，1)，且a≠b，那么在a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中的最大者为________．【解析】∵a，b∈(0，1)且a≠b，∴a＋b2ab，a2＋b22ab.又∵当a，b∈(0，1)时，aa2，bb2，∴a＋ba2＋b2.∴最大者为a＋b.【答案】a＋b第15页【讲评】为了得到n个数中的最大者，可将这n个数分成若干组(如a＋b，2ab与a2＋b2，2ab两组)，将每组中的最大数放在一起，其最大者即为所求，这样做可以简化解题过程．第16页题型二最值问题例2(1)已知a0，b0，且a·b＝2，则当a＝b＝________时，a＋b有最小值________．(2)已知a0，b≥0，且a＋b＝2，则当a＝b＝________时，a·b有最大值________．第17页【解析】(1)∵a＋b≥2ab，∴当a＝b＝2时，a＋b有最小值22.(2)∵ab≤(a＋b2)2，∴当a＝b＝1时，a·b有最大值1.【答案】(1)222(2)11第18页探究2见本课时书读百遍的要点3.第19页●思考题2(1)①若a0，则a＋1a有最________值2，此时a＝________．②若a0，则a＋1a有最________值－2，此时a＝________．【答案】(1)①小1②大，－1第20页(2)若0a2，则a·(2－a)有最大值________，此时a＝________．【答案】1，1第21页例3(1)已知x－1，求f(x)＝x＋1x＋1的最小值．(2)已知x0，y0，且5x＋7y＝20.求xy的最大值．第22页【解析】(1)∵x－1，∴x＋10.∴f(x)＝x＋1x＋1＝x＋1＋1x＋1－1≥2（x＋1）·1x＋1－1＝1.当且仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0时取“＝”．∴f(x)min＝1.第23页(2)∵x0，y0，∴xy＝135(5x·7y)≤135(5x＋7y2)2＝135·(202)2＝207.当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝107时，取“＝”．∴(xy)max＝207.第24页探究3在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“”一正(各项都是正数)，二定(积或和是定值)，三相等(等号能否成立)”．求最值时，若忽略了某个条件，就会出现错误．导致解题的失败．如：本题(1)已知中将x－1改为x2，则值域将变为(73，＋∞)．第25页●思考题3(1)函数y＝log2(x＋1x－1＋5)(x1)的最小值为()A．－3B．3C．4D．－4第26页【解析】x＋1x－1＋5＝(x－1)＋1x－1＋6≥2（x－1）·1x－1＋6＝2＋6＝8，当且仅当x－1＝1x－1即x＝2时取“＝”号，∴y＝log2(x＋1x－1＋5)≥log28＝3.【答案】B第27页(2)已知0x12，求函数y＝x(1－2x)的最大值．第28页【思路分析】和定积最大！【解析】∵0x12，∴1－2x0.∴y＝x·(1－2x)＝12·2x(1－2x)≤12·(2x＋1－2x2)2＝18.当且仅当2x＝1－2x即x＝14时，ymax＝18.第29页课后巩固第30页1．下列结论错误的是()A．|x|＋1|x|≥2B.x2＋2x2＋1≤2C．lgx＋1lgx≥2D．a∈R＋，(1＋a)(1＋1a)≥4答案C解析当x∈(0，1)时，lgx＜0.第31页2．已知yx0，且x＋y＝1，那么()A．xx＋y2y2xyB．2xyxx＋y2yC．xx＋y22xyyD．x2xyx＋y2y第32页答案D解析∵yx0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38.∴x2xyx＋y2y.第33页3．(2014·福建)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案D第34页4．已知p＞0，q＞0，p，q的等差中项为12，且x＝p＋1p，y＝q＋1q，则x＋y的最小值为()A．6B．5C．4D．3答案B第35页5．某工厂去年生产某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量每年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝kn＋1(k0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．第36页(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？第37页答案(1)k＝8，f(n)＝(100＋10n)(10－8n＋1)－100n(2)第8年工厂的利润最高，最高为520万元．第38页