2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题（不作要

第三章不等式3.4基本不等式3.4.1基本不等式的证明ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程．(重点)2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.3.能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养.2.借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.自主探新知预习1．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把_______称为a，b的算术平均数，_____称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么ab___a＋b2(当且仅当_____时取“＝”)，我们把不等式______________________称为基本不等式．a＋b2ab≤a＝bab≤a＋b2(a≥0，b≥0)思考：如何证明不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)?[提示]∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a＋b≥2ab，∴ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0B[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋bD[∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又∵a＋b＞2ab(∵a≠b)，∴a＋b最大．]3．已知ab＝1，a0，b0，则a＋b的最小值为()A．1B．2C．4D．8B[∵a0，b0，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．①a＋b2≥ab；②a－b≥2ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.③[根据x2＋y22≥xy，a＋b2≥ab成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]合作提素养探究对基本不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程：①∵a，b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x，y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[①∵a，b为正实数，∴ba，ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy，yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，－xy、－yx均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，ab≤a＋b2的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x＞0，则x＋1x≥2x·1x＝2.②若x＜0，则x＋4x＝－－x＋－4x≤－2－x·－4x＝－4.③若a，b∈R，则ba＋ab≥2ba·ab＝2.①②[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2abB.ba＋ab≥2C.a2＋b2ab≥2abD.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)p＞q[(1)由a＋b2≥ab得a＋b≥2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．](2)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c22bc，a2＋c22ac.∴2(a2＋b2＋c2)2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2ab＋bc＋ac.]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b2，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，Q，M的大小顺序是()A．P＞Q＞MB．M＞P＞QC．Q＞M＞PD．M＞Q＞PB[显然a＋b2＞ab，又因为a＋b2＜a＋b，(由a＋b＞a＋b24，也就是a＋b4＜1可得)，所以a＋b＞a＋b2＞ab.故M＞P＞Q.]利用基本不等式证明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c9.思路探究：看到1a＋1b＋1c9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号，∴1a＋1b＋1c9.本例条件不变，求证：1a－11b－11c－18.[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝b＋ca0，1b－1＝a＋cb0，1c－1＝a＋bc0，∴1a－11b－11c－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明]由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.4.已知2a＋b＝1，a0，b0，求证：1a＋1b≥3＋22.[证明]1a＋1b＝2a＋ba＋2a＋bb＝3＋ba＋2ab≥3＋22，当且仅当ba＝2ab，且2a＋b＝1，即a＝2－22，b＝2－1时取等号．1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a≥0，b≥0时，才会有ab≤a＋b2.对于“当且仅当a＝b时，‘＝’号成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.当堂固双基达标1．判断正误(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．()(2)若a≠0，则a＋1a≥2a·1a＝2.()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22.()[答案](1)×(2)×(3)√[提示](1)×任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b≥0时，不等式a＋b≥2ab成立．(2)×只有当a0时，根据基本不等式，才有不等式a＋1a≥2a·1a＝2成立．(3)√因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.2．设ab0，则下列不等式中一定成立的是()A．a－b0B．0ab1C.aba＋b2D．aba＋bC[∵ab0，由基本不等式知aba＋b2一定成立．]3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是()A．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－5C[由基本不等式知等号成立的条件为9x－2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]4．设a0，b0，证明：b2a＋a2b≥a＋b.[证明]∵a0，b0，∴b2a＋a≥2b，a2b＋b≥2a，∴b2a＋a2b≥a＋b.