2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5

第1页2．2一元二次不等式的应用第2页要点1一元二次方程根的分布数形结合法求解．第3页要点2分式不等式的解法(1)解分式不等式的基本思想是将分式不等式转化成整式不等式．即f（x）g（x）＞0⇔f(x)·g(x)＞0，f（x）g（x）≤0⇔f（x）·g（x）≤0，g（x）≠0.第4页(2)解分式不等式的基本步骤是：①移项：将不等式右边变为0.②通分：化成标准分式不等式．③转化：转化成整式不等式．④按整式不等式的解法求解．第5页要点3一元高次不等式用数轴标根法求解．要点4实际应用题，要先依题意列出函数关系式，再解不等式或求最值．第6页解不等式应用题的四个步骤：答：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系．(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．第7页授人以渔第8页题型一用一元二次不等式讨论一元二次方程的根例1已知关于x的方程x2＋(a＋1)x＋2a＝0，分别在以下条件下求实数a的取值范围．(1)两根均大于1；(2)两根均在(－1，1)之间．第9页【思路分析】本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．第10页【解析】设f(x)＝x2＋(a＋1)x＋2a.(1)若方程的两根均大于1，如下图①所示，则有Δ≥0，f（1）0，－a＋121⇒（a＋1）2－8a≥0，2＋3a0，a－3第11页⇒a≥3＋22或a≤3－22，a－23，a－3，解得a∈∅，即不存在．第12页(2)若两根均在(－1，1)之间，如上图2所示，则有Δ≥0，－1－a＋121，f（－1）0，f（1）0⇒a≥3＋22或a≤3－22，－3a1，a0，a－23⇒0a≤3－22.第13页探究1本题考查一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与x轴交点的横坐标的关系，从而借助图像的特点，使问题得以解决，本题用到了数形结合思想、转化思想．第14页●思考题1已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两根一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围．第15页【解析】因为关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0有两个不同实根，所以2k≠0.又因为一个根小于1，一个根大于1，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，所以当k0时，有f(1)0，即2k－2－3k－20,解得k－4，所以k0.当k0时，有f(1)0，即2k－2－3k－20，解得k－4，所以k－4.综上，当k－4或k0时，方程2kx2－2x－3k－2＝0的两根一个小于1，一个大于1.第16页题型二分式不等式的解法例2(1)x－11－2x1；(2)3－2x5＋x－2≤0.第17页【解析】(1)移项并整理得3x－21－2x0，它等价于(3x－2)(1－2x)0，即(3x－2)(2x－1)0，∴12x23.∴原不等式的解集为{x|12x23}．第18页(2)通分并整理得－4x－7x＋5≤0，即4x＋7x＋5≥0.它等价于①4x＋7＝0或②(4x＋7)(x＋5)0.由方程①得x＝－74.由不等式②得x－5或x－74.∴原不等式的解集为{x|x－5或x≥－74}．第19页●思考题2解下列不等式：(1)2x－31；(2)2x－1x＋4≥0.【答案】(1){x|3x5}(2){x|x－4，或x≥12}第20页题型三一元高次不等式的解法例3解下列不等式：(1)6x－5x2－x3＞0；(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.第21页【思路分析】(1)先将x3的系数化为正数，然后分解成几个因式相乘的形式，讨论积的符号．(2)化为标准形式，可采用“穿针引线法”求解．第22页【解析】(1)原不等式化为x3＋5x2－6x＜0，即x·(x2＋5x－6)＜0.也就是x·(x－1)·(x＋6)＜0.数轴标根如图：第23页∵当x＞1时，三个因式都大于零，∴积的符号为正．∴三个因式乘积符号在各段上的情况如图．∴由图可得x＜－6或0＜x＜1.∴原不等式的解集为{x|x＜－6或0＜x＜1}．第24页(2)令y＝x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)．各因式的根(从小到大)分别为－2，－1，0，1.其中1为双重根，－1为3重根(或1为偶次根，－1为奇次根)．将根标在数轴上如图所示．∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．第25页探究2(1)数轴标根法是解高次不等式的常用方法．数轴标根法：先将不等式化成标准形式，一端为0，一端为一次(或二次不可约因式)之积．然后求出各因式的根，并在数轴上依次标出(注意：各因式中x系数一定为正)，然后用曲线自右上方至左依次穿过，这样可记数轴上方为正，下方为负，最后依不等式的符号(＞0为正，＜0为负)写出解集．(2)在数轴上根自左向右依次增大．第26页●思考题3解下列关于x的不等式：(1)2x2－3x＋5x2－4x－5＞2；(2)2x2－3x＋5x2－4x－5≥2.【答案】(1){x|－3x－1或x5}(2){x|－3≤x－1或x5}第27页题型四实际应用题例4随着金融危机的复苏，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年可最多生产的件数甲产品20a10200乙产品40818120第28页其中，年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8，另外，年销售x件乙产品时须上交0.05x2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何投资可获得最大年利润？第29页【思路分析】利润＝销售单价×销售量－(固定成本＋可变成本)－上交税款，其中可变成本与生产的件数x有关，先据此建立函数模型．第30页【解析】(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式生产甲、乙两产品的年利润y1，y2分别为：y1＝10x－(20＋ax)＝(10－a)x－20，0≤x≤200且x∈N；y2＝18x－(40＋8x)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40，即y2＝－0.05(x－100)2＋460，0≤x≤120，x∈N.第31页(2)∵3≤a≤8，∴10－a0.∴y1＝(10－a)x－20为增函数．又0≤x≤200，x∈N，∴x＝200时，生产甲产品的年利润最大为(10－a)×200－20＝1980－200a(万美元)．又y2＝－0.05(x－100)2＋460，且0≤x≤120，x∈N，∴x＝100时，生产乙产品的年利润最大为460万美元．第32页(3)问题即研究生产哪种产品年利润最大，可作差比较：(y1)max－(y2)max＝(1980－200a)－460＝1520－200a0（3≤a7.6）；＝0（a＝7.6）；0（7.6a≤8）.所以，当3≤a7.6时，投资生产甲产品200件可获最大年利润；第33页当a＝7.6时，投资生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当7.6a≤8时，投资生产乙产品100件可获最大年利润．第34页●思考题4某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额72万元)，该厂从第几年开始盈利？第35页【解析】由题意知f(n)＝50n－[12n＋n（n－1）2×4]－72＝－2n2＋40n－72.由f(n)0，即－2n2＋40n－720，解得2n18.由n∈N*知，从第三年开始盈利．第36页课后巩固第37页1．不等式x＋13－x≤0的解集为()A．[－1，3]B．[－3，1]C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)答案D第38页2．不等式3x－12－x≥1的解集是()A．{x|34≤x≤2}B．{x|x≤34或x2}C．{x|34≤x2}D．{x|x2}第39页答案C解析不等式3x－12－x≥1，化为4x－32－x≥0，∴34≤x2.第40页3．不等式x(x－1)2(x＋1)3(x－2)0的解集为()A．(0，2)B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(0，1)∪(2，＋∞)第41页答案B解析原不等式化为x（x＋1）（x－2）0，x－1≠0⇔－1x0，或x2，x≠1⇔－1x0，或x2.∴原不等式的解集为{x|－1x0，或x2}．第42页4．不等式x（x＋2）x－30的解集为()A．{x|x－2，或0x3}B．{x|－2x2，或x3}C．{x|x－2，或x0}D．{x|x0，或x3}第43页答案A解析原不等式等价于x(x＋2)(x－3)0.结合数轴穿根法(如图)可知：∴原不等式的解集为{x|x－2或0x3}．第44页5．若关于x的二次方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根同号，求k的取值范围．第45页解析∵方程两根同号，则2（k＋1）≠0，Δ＝（4k）2－8（k＋1）（3k－2）≥0，3k－22（k＋1）0.解得－2≤k－1或23k≤1.第46页6．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示．第47页(1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；第48页(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天)第49页解析(1)由图①可得市场售价与时间的函数关系为f(t)＝300－t，0≤t≤200，2t－300，200t≤300；由图②可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝1200(t－150)2＋100，0≤t≤300.第50页(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝－1200t2＋12t＋1752，0≤t≤200，－1200t2＋72t－10252，200t≤300.当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝－1200(t－50)2＋100，第51页所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200t≤300时，配方整理得h(t)＝－1200(t－350)2＋100，所以，当t＝300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5.综上所述，由10087.5可知h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．第52页