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第1页§2一元二次不等式2．1一元二次不等式的解法第2页要点1一元二次不等式的定义(1)不等式未知数的个数：只含有一个．(2)不等式未知数的最高次数是2．第3页要点2一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac(a0)判别式Δ0Δ＝0Δ0(1)求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1，x2没有实数解解不等式f(x)0或f(x)0的步骤(2)画函数y＝f(x)的示意图第4页f(x)0{x|xx1或xx2}{x|x≠－b2a}R解不等式f(x)0或f(x)0的步骤(3)得不等式的解集f(x)0{x|x1xx2}∅∅第5页要点3解一元二次不等式的一般步骤(1)由三个“二次”关系可得解法如下：第一步：将不等式化为如下形式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．第6页第二步：确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；第三步：求出方程ax2＋bx＋c＝0的根；第四步：联系二次函数的图像写出不等式的解集．第7页解集的写法：①大于取两边——当Δ＞0时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解反映在图像上就是“大于大根，或小于小根”．②小于取中间——当Δ＞0时，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解反映在图像上就是“大于小根，且小于大根”.(2)解不等式的结果一定要写成集合的形式：{x|P(x)}，而不能写成：x1xx2.第8页1．一元二次不等式概念的理解．答：(1)可以这样理解：形如ax2＋bx＋c(≥，，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数．(2)“只含有一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(3)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．第9页2．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系答：(1)从函数的角度看(以a0的二次函数为例)．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c0(a0)的值满足y0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c0(a0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标．第10页(2)从方程的角度看．设一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}，{x|x1xx2}(x1x2)，则有x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．第11页(3)当一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)解集为R时，意味着ax2＋bx＋c0恒成立，由图像可知，关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必利用最值转化的思路求解．第12页授人以渔第13页题型一一元二次不等式的解法例1解不等式－3x2＋6x＞2.【思路分析】解一元二次不等式直接用图解法处理，解题过程中的二次函数图像可画出草稿纸上．第14页【解析】两边都乘以－1，并移项，得3x2－6x＋2＜0.因为Δ＞0，方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33.所以原不等式的解集是{x|1－33＜x＜1＋33}．第15页探究1在基本解法熟练掌握之后通常采用如下步骤解一元二次不等式．第一步：化归为标准式．第二：分解因式．(若能分解成两个一次因式乘积，则对应方程一定有根，并且方程的根一目了然！)第三：结合图像(相应二次函数的图像可画在草稿纸上)写出不等式解集．(建议尽量想象在眼前有一个竖直的平面直角坐标系！)第16页●思考题1解下列不等式：(1)x2－5x＋6＞0；(2)－2x2＋5x－3＞0；(3)x2－6x＋9＞0;(4)x2＋x＋1＞0.【答案】(1){x|x2或x3}(2){x|1x32}(3){x|x≠3，x∈R}(4)R第17页题型二含参数的一元二次不等式的解法例2(1)解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0；(2)解关于x的不等式3x2－mx－m＞0.第18页【思路分析】对于(1)，已经写成两个因式之积的形式，只需对a讨论，就可写出两根，再比较两根的大小即可．对于(2)，还需要求出两根，因此要看判别式Δ的情况．第19页【解析】(1)①当a＝0时，原不等式可化为x－20，∴x2；②当a0时，原不等式可化为(x－2)(x－2a)0.若0a1，则22a.∴x2或x2a；若a≥1，则2≥2a.∴x2a或x2；第20页③当a0时，原不等式可化为(x－2)(x－2a)0.∵2a2，∴2ax2.综上，当a＝0时，原不等式解集为{x|x2}；当0a1时，原不等式解集为{x|x2或x2a}；当a≥1时，原不等式解集为{x|x2a或x2}；当a0时，原不等式解集为{x|2ax2}．第21页(2)Δ＝m2＋12m＝m(m＋12)．①当Δ＜0，即－12＜m＜0时，解集为R；②当Δ＝0时，m＝0，或m＝－12，若m＝0，原不等式化为3x2＞0，此时，解集为{x|x≠0}．若m＝－12，原不等式化为3x2＋12x＋12＞0，解得{x|x≠－2}；第22页③当Δ＞0，即m＜－12，或m＞0时，由方程3x2－mx－m＝0，得x＝m±m2＋12m6.则原不等式的解集为{x|x＜m－m2＋12m6，或x＞m＋m2＋12m6}．第23页探究2为什么对(1)进行分类讨论？就是由于a是式子(ax－2)中x的系数，要求出ax－2＝0的根，就要对a进行讨论；要比较2与2a的大小，就必须讨论a值．为什么对(2)进行分类讨论？还是由于要求出方程的根，就用到判别式Δ，而方程是否有实根呢？因此导致了分类讨论．第24页●思考题2解关于x的不等式：(1)x2＋ax＋4＞0(a∈R)；(2)x2＋(a2＋a)x＋a3＞0.第25页【解析】(1)当－4a4时，解集为R；当a＝±4时，解集为{x|x≠－a2}；当a－4或a4时，解集为{x|x－a－a2－162或x－a＋a2－162}．第26页(2)原不等式可化为(x＋a)(x＋a2)＞0.①当－a＞－a2，即a＞1或a＜0时，原不等式的解集为{x|x＞－a或x＜－a2}；②当－a＝－a2，即a＝0时，解集为{x|x≠0}；a＝1时，解集为{x|x≠－1}；③当－a＜－a2，即0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＞－a2或x＜－a}．第27页题型三一元二次不等式解集的应用例3若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－13≤x≤2}，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．第28页【思路分析】一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．【解析】方法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－13≤x≤2}知a0，又(－13)×2＝ca0，则c0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，∴ba＝－53.第29页又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式变为(－23a)x2＋(－53a)x＋a0，即2ax2＋5ax－3a0.又∵a0，∴2x2＋5x－30.所求不等式的解集为{x|－3x12}．第30页方法二：由已知得a0，且(－13)＋2＝－ba，(－13)×2＝ca知c0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，其中ac＝1（－13）×2＝－32，第31页－bc＝－baca＝（－13）＋2（－13）×2＝－3＋12，∴x1＝－3，x2＝12.∴不等式cx2＋bx＋a0(c0)的解集为{x|－3x12}．第32页探究3如果对一元二次不等式解的意义不理解，将不能由ax2＋bx＋c≥0的解集得出ax2＋bx＋c＝0的两根为－13和2，即使知道，还有同学不能通过解集的形式得出a0，又不能通过(－13)×2＝ca得出c0，导致错误．在方法二中，利用根与系数的关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数的关系的结构变化是解题的关键．第33页●思考题3已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集是{x|x－2或x－12}，求不等式ax2－bx＋c0的解集．第34页【思路分析】由题意可知，－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得－ba＝－52，ca＝1，注意观察要求不等式与已知条件之间的联系．第35页【解析】由条件，知－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a0，∴－2－12＝－ba，(－2)×(－12)＝ca.∴b＝52a，c＝a.从而不等式ax2－bx＋c0变为a(x2－52x＋1)0.第36页∵a0，∴原不等式等价于2x2－5x＋20，即(x－2)(2x－1)0，解得12x2.∴不等式的解集为{x|12x2}．第37页课后巩固第38页1．不等式(1－x)(3＋x)0的解集是()A．(－3，1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．(－1，3)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案A第39页2．关于x的不等式x2＋px－20的解集是(q，1)，则p＋q的值为()A．－2B．－1C．1D．2答案B第40页3．已知函数y＝x2－4x＋3，则当自变量x满足________，函数值等于0；当自变量x满足________，函数值大于0；当自变量x满足________，函数值小于0.答案x＝1或x＝3x3或x11x3第41页4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c0的解集是________．第42页答案(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．第43页5．解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a20(a0)．第44页解析(1)原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，则x∈R，故原不等式的解集为R.(2)原不等式转化为(x＋a)(x－3a)0，因为a0，所以3a－a，得3ax－a.故原不等式的解集为{x|3ax－a}．第45页