2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不

3.2一元二次不等式及其解法第二课时一元二次不等式及其解法(二)登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)．3．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点)．‖知识梳理‖一般的分式不等式的同解变形法则：(1)fxgx0⇔1_____________；(2)fxgx≤0⇔2_____________；3_____________；(3)fxgx≥a⇔fx－agxgx≥0.f(x)g(x)0fxgx≤0gx≠0知识点|分式不等式的解法阅读教材P79～P81，完成下列问题．‖小试身手‖1．不等式x－3x＋20的解集为()A．{x|－2x3}B．{x|x－2}C．{x|x－2或x3}D．{x|x3}解析：选A不等式x－3x＋20可化为(x＋2)(x－3)0，∴－2x3，故选A.2．不等式x＋5x－12≥2的解集是_____________．解析：不等式等价于x＋5≥2x－12，x－1≠0，解得－12≤x≤3，x≠1，所以不等式的解集为x－12≤x≤3且x≠1.答案：x－12≤x≤3且x≠1剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一简单分式不等式解法【例1】解下列不等式：(1)x＋1x－2≤2；(2)x2＋x－6x－2≥0.[解](1)移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简，得－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，此不等式等价于(x－2)(x－5)≥0，x－2≠0，∴x2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．(2)由x2＋x－6x－2≥0，得x＋3x－2x－2≥0，此不等式等价于x＋3≥0，x－2≠0.解得x≥－3且x≠2.∴原不等式的解集为{x|x≥－3且x≠2}.[方法总结](1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.1．解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋13.解：(1)不等式x＋1x－3≥0可化为x＋1x－3≥0，x－3≠0，∴x≤－1或x3.∴原不等式的解集为{x|x≤－1或x3}．(2)不等式5x＋1x＋13可化为5x＋1x＋1－30，即2x－1x＋10，∴2(x－1)(x＋1)0，∴－1x1.∴原不等式的解集为{x|－1x1}．题型二不等式恒成立问题多维探究不等式恒成立问题，常见的角度有：1．一元二次不等式恒成立问题．2．含参数的不等式恒成立问题．角度1一元二次不等式恒成立问题【例2】关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋mx2＋1对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．[解]原不等式等价于mx2＋mx＋m－10对任意x∈R恒成立，当m＝0时，－10对任意x∈R恒成立．当m≠0时，由题意，得m0，Δ＝m2－4m(m－1)0⇔m0，3m2－4m0⇔m0，m0或m43⇔m0.综上，m的取值范围为(－∞，0].[方法总结]一元二次不等式恒成立时满足条件(1)ax2＋bx＋c0恒成立时，满足a0，Δ0；(2)ax2＋bx＋c≥0恒成立时，满足a0，Δ≤0；(3)ax2＋bx＋c0恒成立时，满足a0，Δ0；(4)ax2＋bx＋c≤0恒成立时，满足a0，Δ≤0.角度2含参数的不等式恒成立问题【例3】已知函数f(x)＝mx2－mx－6＋m，若对于m∈[1,3]，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围．[解]解法一：f(x)0⇔mx2－mx－6＋m0⇔(x2－x＋1)m－60.∵x2－x＋10，∴m6x2－x＋1对m∈[1,3]恒成立，∴6x2－x＋13⇔x2－x－10⇔1－52x1＋52，∴x的取值范围为x1－52x1＋52.解法二：设g(m)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6.由题意知，g(m)0对m∈[1,3]恒成立．∵x2－x＋10，∴g(m)是关于m的一次函数，且在[1,3]上是增函数，∴g(m)0对m∈[1,3]恒成立等价于g(m)max0，即g(3)0.∴(x2－x＋1)×3－60⇔x2－x－10⇔1－52x1＋52，∴x的取值范围为x1－52x1＋52.[方法总结](1)恒成立问题的解法：①f(x)A(A为常数)在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)minA.若f(x)∈(f(m)，f(n))，则f(m)≥A.②f(x)B(B为常数)在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)maxB.若f(x)∈(f(a)，f(b))，则f(b)≤B.(2)解法二运用了“变更主元法”(由x→m)，变更主元法就是根据实际问题的需要来确定合适的主元，使问题得以解决.2．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．解：当a2－4＝0时，a＝±2，当a＝2时，不等式的解为x≥14，不符合题意，舍去；当a＝－2时，解集为∅；当a2－4≠0时，要使解集为∅，则有a2－40，Δ0，解得－2a65.∴实数a的取值范围是－2，65.3．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈32，＋∞，fxm－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围．解：∵f(x)＝x2－1，fxm－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对x∈32，＋∞恒成立，即x2m2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)对x∈32，＋∞恒成立．则1m2－4m2－1≤－2x－3x2对任意x∈32，＋∞恒成立．令g(x)＝－2x－3x2，则g(x)＝－3x2－2x＝－31x2＋23x＝－31x＋132＋13.∵x≥32，∴01x≤23.∴当1x＝23时，g(x)min＝－83.∴1m2－4m2－1≤－83，整理，得12m4－5m2－3≥0，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0.又∵3m2＋10，∴4m2－3≥0，解得m≥32或m≤－32.题型三一元二次不等式的实际应用【例4】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[解](1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0x10)．(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又因为0x10，所以0x≤2.即x的取值范围为(0,2].[方法总结]解不等式应用题的步骤4．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲，乙两种车型的刹车距离为Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．解：由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x212，S乙＝0.05x＋0.005x210.分别求解，得x－40或x30.x－50或x40.由于x0，从而得x甲30km/h，x乙40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．知识归纳自我测评堂内归纳提升1．掌握处理不等式恒成立问题的2种方法有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解．2．辨明分式不等式解法的2个易错点(1)解不等式fxgx≥0(或≤0)时，忽视g(x)≠0；(2)解不等式fxgxa(或a)时，不考虑g(x)的符号，直接去分母．「自测检评」1．与不等式x－32－x≥0同解的不等式是()A．(x－3)(2－x)≥0B．lg(x－2)≤0C.2－xx－3≥0D．(x－3)(2－x)0解析：选B解不等式x－32－x≥0，得2x≤3，A中不等式(x－3)(2－x)≥0的解是2≤x≤3，故不正确；B中不等式lg(x－2)≤0的解是2x≤3，故正确；C中不等式2－xx－3≥0的解是2≤x3，故不正确；D中不等式(x－3)(2－x)0的解是2x3，故不正确．故选B.2．不等式3x－12－x≥1的解集是()A.x34≤x≤2B．x34≤x2C.xx2或x≤34D．xx≥34解析：选B由不等式3x－12－x≥1，移项得3x－12－x－1≥0，即x－34x－2≤0，可化为x－34≥0，x－20或x－34≤0，x－20，解得34≤x2，则原不等式的解集为x34≤x2，故选B.3．(2019·河南实验中学质量预测)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为()A．{0，－3}B．[－3,0]C．(－∞，－3]∪[0，＋∞)D．{0,3}解析：选A∵函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3×(m＋3)＝0，∴m＝－3或0，∴实数m的取值范围为{0，－3}，故选A.4．已知一元二次不等式2kx2＋kx＋12≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是_____________．解析：∵一元二次不等式2kx2＋kx＋12≥0对一切实数x都成立，由题意知k≠0，根据y＝2kx2＋kx＋12的图象，有2k0，Δ≤0，∴k0，k2－4k≤0，解得0k≤4，∴k的取值范围是(0,4]．答案：(0,4]5．解下列不等式：(1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋31.解：(1)∵2x－13x＋1≥0⇔2x－13x＋1≥0，3x＋1≠0⇔x≤－13或x≥12，x≠－13⇔x－13或x≥12.∴原不等式的解集为xx－13或x≥12.(2)原不等式可化为2－x－x＋3x＋30⇔－2x－1x＋30⇔2x＋1x＋30⇔(2x＋1)(x＋3)0⇔－3x－12.∴原不等式的解集为x－3x－12.