2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5

第三章不等式3.2均值不等式学习目标核心素养1.了解均值不等式的证明过程．2．能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3．熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)1.通过均值不等式的证明过程的学习，体现了学生的逻辑推理的素养．2．借助利用不等式求最值的学习，培养学生的数学运算的素养.自主预习探新知1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2___2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．均值不等式ab≤a＋b2(1)均值不等式成立的条件：__________；(2)等号成立的条件：当且仅当_____时取等号．≥a0，b0a＝b3．算术平均值与几何平均值(1)设a0，b0，则a，b的算术平均值为a＋b2，几何平均值为____；(2)均值定理可叙述为两个正实数的算术平均值___________它们的几何平均值．4．用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有_______．(2)两个正数的和为常数时，它们的积有_______．ab大于或等于最小值最大值1．若x0，则x＋4x的最小值是()A．2B．3C．22D．4D[∵x0，∴4x0，∴x＋4x≥2x·4x＝4.当且仅当x＝4x，即x＝2时，等号成立．]2．已知a，b∈R，且ab0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC．1a＋1b2abD．ba＋ab≥2D[利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a2＋b2≥2ab的使用条件是a，b∈R.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以ba0，ab0，所以ba＋ab≥2ba·ab，即ba＋ab≥2恒成立．]3．若0ab且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A．12B．a2＋b2C．2abD．aB[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·a＋b22＝12.a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab．∵0ab且a＋b＝1，∴a12.∴a2＋b2最大．]14[当x0，y0时，x＋y≥2xy，∴xy≤x＋y22＝14.当且仅当x＝y＝12时，等号成立．]4．若x0，y0且x＋y＝1，则xy的最大值为________．合作探究提素养利用均值不等式比较大小【例1】(1)已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．不确定(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)A(2)pq[(1)∵a2，∴a－20.又m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，∴m≥2a－2×1a－2＋2＝4，即m∈[4，＋∞)．由b≠0得b2≠0，∴2－b22，∴22－b24，即n4，∴n∈(0,4)．综上，易得mn.(2)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b22ab，b2＋c22bc，a2＋c22ac．∴2(a2＋b2＋c2)2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2ab＋bc＋ac，亦即pq.]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．1．设a0，b0，试比较a＋b2，ab，a2＋b22，21a＋1b的大小，并说明理由．[解]∵a0，b0，∴1a＋1b≥2ab，即ab≥21a＋1b(当且仅当a＝b时取等号)，又a＋b22＝a2＋2ab＋b24≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22，∴a＋b2≤a2＋b22(当且仅当a＝b时等号成立)，而ab≤a＋b2，故a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(当且仅当a＝b时等号成立)．不等式的证明【例2】已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：1a＋1b＋1c≥9.[证明]1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”．可尝试用均值不等式证明．2．利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．3．利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．2．已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.[证明]法一：因为a0，b0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.同理1＋1b＝2＋ab.故1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.所以1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时取等号)．法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤a＋b22＝14，于是1ab≥4，2ab≥8.因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．均值不等式的实际应用【例3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，所以26xy≤18，得xy≤272，即Smax＝272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)．∵0y6，∴6－y0.∴S≤326－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．1．在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．2．对于函数y＝x＋kx(k0)，可以证明x∈(0，k]及[－k，0)上均为减函数，在[k，＋∞)及(－∞，－k]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k，可用均值不等式，不包含±k就用函数的单调性．3．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？[解](1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元，则y＝50n－98－12×n＋nn－12×4＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为yn＝－2n＋49n－20≤－22n·49n－20＝12，当且仅当n＝49n，即n＝7时上式取等号．∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．利用均值不等式求最值[探究问题]1．由x2＋y2≥2xy知xy≤x2＋y22，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是x2＋y22吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？[提示]最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用均值不等式a＋b2≥ab(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？[提示]不正确．因为利用均值不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”均值不等式求解．正确解法应为：当x0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x0时，y＝－－x－1x≤－2－x·－1x＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋1x的最大值是－2.3．已知x≥3，求y＝x2＋4x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝x2＋4x＝x＋4x≥2x·4x＝4，∴当x≥3时，y＝x2＋4x的最值为4.”[提示]不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”“定”“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋4x的单调性求解．【例4】(1)若x0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(2)若x2，求f(x)＝1x－2＋x的最小值；(3)已知0x12，求f(x)＝12x(1－2x)的最大值；(4)已知x1，求函数y＝x2＋2x－1的最小值．[解](1)因为x0，所以f(x)＝－－12x＋－3x≤－2－12x·－3x＝－12，当且仅当－12x＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以f(x)的最大值为－12.(2)因为x2，所以x－20，f(x)＝1x－2＋x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，所以f(x)的最小值为4.(3)因为0x12，所以1－2x0，f(x)＝12x(1－2x)＝14·2x(1－2x)≤142x＋1－2x22＝116，当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时等号成立，所以f(x)的最大值为116.(4)因为x1，所以x－10.设t＝x－1(t0)，则x＝t＋1，所以y＝x2＋2x－1＝t＋12＋2t＝t＋3t＋2≥2t·3t＋2＝23＋2，当且仅当t＝3t，即t＝3，x＝3＋1时等号成立，所以f(x)的最小值为23＋2.1．本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形．2．应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．3．利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．4．(1)已知a0，b0，若不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，则m的最大值等