2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.1.1 不等关系与不等式课件 新人教B版必修5

3．1不等关系与不等式3．1.1不等关系与不等式自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．了解现实世界和日常生活中存在大量的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．学会比较两个数大小的方法.1．不等关系与不等式(1)不等式中自然语言与不等符号之间的转换大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于_______________________________________＞＜≥≤≤≥≥≤(2)不等式的定义：含有___________的式子．不等号2．实数大小的比较(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系①数轴上的任意两点中，___________点对应的实数比___________点对应的实数大．②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B).右边左边点A、B的位置关系点A和点B重合点A在点B右侧点A在点B左侧实数a、b的大小关系_________________________________a＝ba＞ba＜b(2)比较两个实数的大小方法作差法作商法(a0，b0)依据___________________________________________________ab1⇔abab1⇔abab＝1⇔a＝ba－b＞0⇔a＞ba－b＜0⇔a＜ba－b＝0⇔a＝b步骤作差→变形→判断差的正负→得出结论对于任意两个正数，作商→变形→判断与1的大小→得出结论结论对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立.1．实数m不超过2，是指()A．m＞2B．m≥2C．m＜2D．m≤2答案：D2．已知M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则M与N的大小关系为________．解析：M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，∴M＞N.答案：M＞N3．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量x，y)所满足的条件是________．答案：20≤x＋y≤30，28x＋58y≤1800，x，y∈N*典例精析规律总结课堂互动探究武广铁路上，高速列车跑出了350km/h的速度，但这个速度的2倍再加上100km/h，还不超过波音飞机的最高时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．【解】设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，v1，v3的关系：v1＞3v3.【知识点拨】(1)做这类题目应该弄清文字语言：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“不是”“超过”“不超过”“在某某之间”与数字符号“＜”“＞”“≤”“≥”“≠”之间的转化，特别是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．(2)多个不等关系可以用不等式组表示．某校高三(1)班共有45人，现采用问卷调查统计有手机与平板电脑的人数．从统计资料显示，此班有35人有手机，有24人有平板电脑．设a为同时拥有手机与平板电脑的人数；b为有手机但没有平板电脑的人数；c为没有手机但有平板电脑的人数；d为没有手机也没有平板电脑的人数，给出下列5个不等式：①a＞b，②a＞c，③b＞c，④b＞d，⑤c＞d.其中恒成立的不等式为()A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③⑤解析：如图所示，由题可知a＋b＝35，a＋c＝24，a＋b＋c≤45，35＋24－a＋d＝45，∴14≤a≤24,11≤b≤21，c≤10，d≤10.∴a＞c，b＞c，b＞d，故选B.答案：B(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小；(2)设a＞0，b＞0，且a≠b，比较aabb与abba的大小．【解】(1)(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34.∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34＞0.∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.(2)aabbabba＝aa－b·bb－a＝aba－b，当a＞b＞0时，ab＞1，且a－b＞0，∴aba－b＞1.即aabb＞abba；当b＞a＞0时，0＜ab＜1，且a－b＜0，∴aba－b＞1.即aabb＞abba.综上知，aabb＞abba.【知识点拨】(1)比较两数(或式)的大小，作差比较是最基本的方法，其步骤为：作差(或n次方作差)，变形，确定符号，得出结论．其中作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的．关键是对差的变形，可考虑配方或因式分解．(2)作商法最终是与1比较大小，此法比较适合于指数幂形式的大小比较问题．(2018·甘肃天水月考)比较大小：(x－2)(x＋3)________(填“”“”或“＝”)x2＋x－7.解析：(x－2)(x＋3)－(x2＋x－7)＝x2＋3x－2x－6－x2－x＋7＝10，∴(x－2)(x＋3)x2＋x－7.答案：若a＞0，比较aa与3a的大小．解：aa3a＝a3a，当0＜a＜3时，0＜a3＜1，则a3a＜1，aa＜3a；a＝3时，a3＝1，a3a＝1，aa＝3a；a＞3时，a3＞1，a3a＞1，aa＞3a.已知a＞b＞c，求证：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.【证明】a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(a－b)(b－c)．∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0.∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0.∴a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.【知识点拨】(1)像本题利用作差的方法证明不等式，我们称之为作差法(比较法)．(2)利用作差法证明不等式时，作差后，通过对差式的适当变形，化成几个因式积的形式，或配成几个完全平方式的和，即可判断差式的符号，从而达到证明不等式的目的．已知ab0，证明：a3－b3a3＋b3a－ba＋b.证明：a3－b3a3＋b3－a－ba＋b＝a3－b3a＋b－a3＋b3a－ba3＋b3a＋b＝2a3b－ab3a3＋b3a＋b＝2aba－ba＋ba3＋b3a＋b＝2aba－ba3＋b3，①∵ab0，∴①式0，∴a3－b3a3＋b3a－ba＋b.即学即练稳操胜券基础知识达标1．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点坐标，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是()A．a－b≤0B．a＋b＜0C．|a|＞|b|D．a－b＞0答案：D2．(2018·江西新干月考)若ab0，则下列不等式不能成立的是()A.1a1bB．13a13bC．|a||b|D．3a3b答案：D3．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是________．解析：∵P－Q＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋3＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，∵a，b，c是不全相等的实数，∴P－Q0，∴PQ.答案：PQ4．若(a＋1)2＞(a＋1)3(a≠－1)，则实数a的取值范围是________．解析：∵(a＋1)2－(a＋1)3＝(a＋1)2(－a)＞0，∴－a＞0且a≠－1，即a＜0且a≠－1.答案：a＜0且a≠－15．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c三个实数的大小．解：b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c，由b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1，∴c－a＝a2＋1－a＝a－122＋340，∴ca，故b≥ca.