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第三章不等式§1不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式学习目标核心素养1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．(难点)3．能用作差法比较大小．(重点)1.通过认识不等关系及不等符号培养数学抽象素养．2．通过对两数(式)比较大小提升逻辑推理素养.自主预习探新知1．不等式中的数字符号阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”．文字语言数学符号文字语言数学符号大于___至多___小于___至少___大于等于___不少于___小于等于___不多于___＞≤＜≥≥≥≤≤思考：(1)限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？[提示]v≤40km/h.(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？[提示]a－b≥0.2．比较大小阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．(1)作差法比较两实数大小依据如果_________，那么a＞b.如果_________，那么a＜b.如果_________，那么a＝b.结论确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的________与___的大小关系.a－b＞0a－b＜0a－b＝0差a－b0(2)不等式的性质①对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b.②传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c.③同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.④同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.⑤乘方法则：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．⑥开方法则：若a＞b＞0，则na＞nb(n∈N＋，且n≥2)．⑦同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则1a＜1b.思考：(1)“若a＞b，c＞d，那么ac＞bd”成立吗？[提示]不成立，如a＝－2，b＝－3，c＝1，d＝0，则ac＜bd.(2)“若an＞bn，(n∈N＋，且n≥2)，则a＞b”一定成立吗？[提示]不一定，如(－4)2＞(－2)2，但－4＜－2.A[A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．]1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是()A．1a＜1bB．－a＜bC．a2＜b2D．|a|＞|b|x2＞2x[x2－2x＝x(x－2)，因为x＞2，故x(x－2)＞0，即x2＞2x.]2．当x＞2时，x2与2x的大小关系为________．正[因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，所以b2＝a2＋c2＋2ac.所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.因为ac，所以(a－c)20.所以b2－4ac0，即b2－4ac的符号为正．]3．已知abc，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为________．正数[因为abc，所以a－b0，b－c0，a－cb－c0.所以1a－b0，1b－c0，1a－c1b－c，所以1a－b＋1b－c－1a－c0，所以1a－b＋1b－c＋1c－a为正数．]4．已知abc，则1a－b＋1b－c＋1c－a的值为________(填“正数”“非正数”“非负数”)．合作探究提素养用不等式(组)表示不等关系【例1】配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N＋)，请写出x，y所满足的不等关系．[解]根据题意可得3x＋5y≤20，5x＋4y≤25，x≥1，x∈N＋，y≥1，y∈N＋.(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意，找准不等关系所联系的量；②用适当的不等号连接；③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示．(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．4．5t28000.[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t28000.]1．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．比较两个数(式)的大小【例2】比较下列各式的大小：(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．[解](1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋10.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．比较大小的方法(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论．(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小．作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论．(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断．2．已知ab0，试比较aabb与abba的大小．[解]因为aabbabba＝aa－b·bb－a＝aba－b，因为ab0，所以a－b0，ab1，所以aba－b1，故aabbabba.不等式的性质及应用[探究问题]1．“若a＞0，b＞0，则ab＞0，a＋b＞0”成立吗？反之成立吗？[提示]成立，反之也成立，即“若ab＞0，a＋b＞0，则a＞0，b＞0”．2．“若a＞1，b＞1，则ab＞1，a＋b＞2”成立吗？反之成立吗？[提示]成立，但反之不成立，即“若ab＞1，a＋b＞2，则a＞1，b＞1”不成立，反例：a＝4，b＝12，满足ab＞1，a＋b＞2，但不满足a＞1，b＞1.3．如何用a＋b和a－b表示2a－3b?[提示]设2a－3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即2a－3b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以x＋y＝2x－y＝－3，解得x＝－12，y＝52，故2a－3b＝－12(a＋b)＋52(a－b)．【例3】设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．思路探究：用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范围求f(－2)的取值范围．[解]由f(x)＝ax2＋bx得，f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是有m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范围是[5,10]．(变结论)例3的条件不变，求f(2)的取值范围．[解]由例3的解答可知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，又f(2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝x(a－b)＋y(a＋b)，即4a＋2b＝(x＋y)a＋(y－x)b，则x＋y＝4，－x＋y＝2，解得x＝1，y＝3，则4a＋2b＝(a－b)＋3(a＋b)，即f(2)＝f(－1)＋3f(1)，由1≤f(－1)≤2,6≤3f(1)≤12，两式相加得7≤f(－1)＋3f(1)≤14.即f(2)的取值范围是[7,14]．利用性质求范围问题的基本要求(1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等．(2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．[提醒]本例中如果由1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4得到a，b的取值范围，再求f(－2)的取值范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a，b的取值范围与已知条件不是等价关系．1．比较两个实数的大小，只要研究它们的差就可以了．a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.2．不等式的性质(1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．当堂达标固双基1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac＞bc.()(2)a2一定大于a.()(3)若a＞b，则1a＜1b.()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc；(2)错误，当0≤a≤1时，a2≤a；(3)错误，反例2＞－1，但12＞－1.A[∵ab0，∴在－ca＞－db两侧乘ab不变号，即－bc－ad，即bcad.]2．已知a，b，c，d∈R且ab0，－ca－db，则()A．bcadB．bcadC．ac＞bdD．acbdM＞N[M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0，故M＞N.]3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系为________．4．已知2＜a＜4,3＜b＜8，求a－b，ab的取值范围．[解]∵3＜b＜8，∴－8＜－b＜－3.又2＜a＜4，∴－6＜a－b＜1.∵3＜b＜8，∴18＜1b＜13.又2a4，∴14ab43.综上，－6a－b1，14ab43.