2019-2020学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 第1课时 二维形式的柯西不等式课件

第1课时二维形式的柯西不等式1．定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实数，则：(a2＋b2)(c2＋d2)≥________，其中等号当且仅当________时成立．(ac＋bd)2ad＝bc推论：①a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当___________时，等号成立)．②(a＋b)(c＋d)≥_______________(a，b，c，d∈R＋)(当且仅当___________时，等号成立)．③a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当____________时，等号成立)．ad＝bc(ac＋bd)2ad＝bc|ad|＝|bc|2．定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α·β|≤________，当且仅当____________或________________________时，等号成立．3．定理3：(二维形式的三角形不等式)设x1，y1，x2，y2为任意实数，则x21＋y21＋x22＋y22≥____________________.推论：设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥___________________.|α|·|β|β是零向量存在实数k，使α＝kβx1－x22＋y1－y22x1－x32＋y1－y321．已知3x＋y＝10，则x2＋y2的最小值为()A．110B．10C．1D．100【答案】B【解析】由(x2＋y2)·(32＋12)≥(3x＋y)2＝100(当且仅当x＝3y时等号成立)，得x2＋y2≥10010＝10.2．已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是()A．[0，5]B．[－5，0]C．[－5，5]D．[－5,5]【答案】C【解析】由|3x＋2y|≤3x2＋2y2·32＋22，得|3x＋2y|≤5·3x2＋2y2≤5.3．函数y＝x－5＋26－x的最大值是________．【答案】5【解析】由y2＝(x－5＋26－x)2≤(12＋22)·[(x－5)2＋(6－x)2]得y≤5.当且仅当6－x＝2x－5即x＝265时等号成立．4．已知：a2＋b2＝1，m2＋n2＝2，证明：－2≤am＋bn≤2.【解析】方法一：因为|am＋bn|≤a2＋b2·m2＋n2＝2，所以－2≤am＋bn≤2.方法二：构造向量，令α＝(a，b)，β＝(m，n)，由|α·β|≤|α|·|β|，得|am＋bn|≤a2＋b2·m2＋n2＝2.所以－2≤am＋bn≤2.(当且仅当an＝bm时取等号)【例1】证明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2.【解题探究】虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可简化计算．【解析】根据柯西不等式，有(x2＋y4)(a4＋b2)≥(x·a2＋y2·b)2＝(a2x＋by2)2.(当且仅当xb＝y2a2时取等号)利用柯西不等式证明不等式联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算．所以，经典不等式是数学研究的有力工具．1．已知a，b，c为正数且满足acos2θ＋bsin2θ＜c，求证：acos2θ＋bsin2θ＜c.【证明】∵acos2θ＋bsin2θ＝(acos2θ＋bsin2θ)(cos2θ＋sin2θ)≥(acos2θ＋bsin2θ)2，∴(acos2θ＋bsin2θ)2＜C．∴acos2θ＋bsin2θ＜c.利用柯西不等式求最值【例2】求函数y＝5x－1＋10－2x的最大值．【解题探究】利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值(|ac＋bd|≤a2＋b2·c2＋d2)．【解析】函数的定义域为[1,5]且y＞0，y＝5×x－1＋2×5－x≤52＋22×x－12＋5－x2＝63.当且仅当2×x－1＝5×5－x时，等号成立，即x＝12727时，函数取最大值63.(1)本例应用了柯西不等式的变形形式，困难在于弄清对应于柯西不等式中a，b，c，d的是哪4个数．(2)解此类问题时，应先求出函数的定义域．2．求函数f(x)＝2x－4＋5－x的最大值．【解析】函数f(x)＝2x－4＋5－x＝2·x－2＋1·5－x≤22＋12·x－22＋5－x2＝3.当且仅当x－2＝2×5－x时，等号成立，即x＝4时，函数取得最大值3.构造柯西不等式求最值【例3】已知x0，y0，a0,b0且ax＋by＝1，求x＋y的最小值．【解题探究】注意到x＋y＝(x＋y)ax＋by，有了(x＋y)ax＋by就可以用柯西不等式了．【解析】∵x0，y0，a0,b0，ax＋by＝1，∴x＋y＝[(x)2＋(y)2]ax2＋by2≥(a＋b)2.当且仅当x·by＝y·ax，即xy＝ab时取等号．∴(x＋y)min＝(a＋b)2.巧用条件ax＋by＝1，构造与柯西不等式一致的形式，应用柯西不等式的另一个变形形式(a＋c)(b＋d)≥(ac＋bd)2(a0,b0,c0，d0)，需要注意的是条件a0,b0,，否则不能用柯西不等式．当然，本例若将(x＋y)ax＋by拆开，由基本不等式也可得证．3．已知|x－2y|＝5，证明：x2＋y2≥5.【证明】由柯西不等式有(x2＋y2)[12＋(－2)2]≥(x－2y)2，即5(x2＋y2)≥|x－2y|2.∵|x－2y|＝5，∴5(x2＋y2)≥25，即x2＋y2≥5.1．柯西不等式主要用于证明不等式和求最值，常用到推论1和推论2，要注意公式应用的前提条件和等号成立的条件．2．在柯西不等式的应用过程中，常常需要对式子的结构进行适当的拼凑或变形，构造与柯西不等式一致的形式，弄清问题中的哪些数对应于柯西不等式中的a，b，c，d很重要．3．有些问题既可用柯西不等式，也可用基本不等式来解决，需要分清两种不等式的结构特点．