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第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)自主预习探新知教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和____________________称为反序和．a1b1＋a2b2＋…＋anbna1c1＋a2c2＋…＋ancna1bn＋a2bn－1＋…＋anb1教材整理2排序不等式阅读教材P42～P44，完成下列问题．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则≤___________________≤，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为_________≤≤顺序和.a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1c1＋a2c2＋…＋ancna1b2＋a2b2＋…＋anbn反序和乱序和合作探究提素养用排序不等式证明不等式(字母大小已定)【例1】已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)1bc≥1ca≥1ab；(2)a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥1a2＋1b2＋1c2.[精彩点拨]由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．[自主解答](1)∵a≥b0，于是1a≤1b.又c0，∴1c0，从而1bc≥1ca，同理，∵b≥c0，于是1b≤1c，∴a0，∴1a0，于是得1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.(2)由(1)知1bc≥1ca≥1ab0且a≥b≥c0，∴1b2c2≥1c2a2≥1a2b2，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥b2b2c2＋c2c2a2＋a2a2b2＝1c2＋1a2＋1b2＝1a2＋1b2＋1c2，故a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥1a2＋1b2＋1c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．本例题中条件不变，求证：a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥c2a3＋a2b3＋b2c3.[证明]∵a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，1c≥1b≥1a＞0.∴1bc≥1ac≥1ba，∴1b3c3≥1a3c3≥1b3a3，由顺序和≥乱序和得a5b3c3＋b5a3c3＋c5b3a3≥b5b3c3＋c5a3c3＋a5b3a3＝b2c3＋c2a3＋a2b3，∴a5b3c3＋b5a3c3＋c5b3a3≥c2a3＋a2b3＋b2c3.字母大小顺序不定的不等式证明【例2】设a，b，c为正数，求证：a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.[精彩点拨](1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．[自主解答]不妨设0a≤b≤c，则a3≤b3≤c3，01bc≤1ca≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a3·1ca＋b3·1ab＋c3·1bc≤a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab，a3·1ab＋b3·1bc＋c3·1ca≤a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab.将上面两式相加得a2＋b2c＋b2＋c2a＋c2＋a2b≤2a3bc＋b3ca＋c3ab，将不等式两边除以2，得a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．2．设a1，a2，…，an为正数，求证：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.[证明]不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1an，即a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.利用排序不等式求最值【例3】设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求aA＋bB＋cCa＋b＋c的最小值(A，B，C用弧度制表示)．[精彩点拨]不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答]不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，将以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，当且仅当A＝B＝C＝π3时，等号成立．∴aA＋bB＋cCa＋b＋c≥π3，即aA＋bB＋cCa＋b＋c的最小值为π3.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值．[解]不妨设x≥y≥z0，则x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x2y＋y2z＋z2x≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，x2y＋y2z＋z2x≥1，当且仅当x＝y＝z＝13时，等号成立．故t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值为1.利用排序不等式求解简单的实际问题【例4】若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min,25min和30min，每台电脑耽误1min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[精彩点拨]这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3min，求其最小值即可．[自主解答]设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4min,8min,6min，10min，5min，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？[解]根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．即按注满时间为4min,5min,6min,8min,10min依次等水，等待的总时间最少．当堂达标固双基1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是()A．MNB．M≥NC．MND．M≤NB[由排序不等式，知M≥N.]2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是()A．PQB．P≥QC．PQD．P≤QB[不妨设a≥b≥c0，则a2≥b2≥c20，由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.]3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．[解析]由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.[答案]32284．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．[解析]取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元．[答案]19255．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2.[证明]∵12＜22＜32＜…＜n2，∴112＞122＞…＞1n2.设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an由小到大的一个排列，即c1＜c2＜c3＜…＜cn，根据排序原理中，反序和≤乱序和，得c1＋c222＋c332＋…＋cnn2≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2，而c1，c2，…，cn分别大于或等于1,2，…，n，∴c1＋c222＋c332＋…＋cnn2≥1＋222＋332＋…＋nn2＝1＋12＋…＋1n，∴1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋…＋ann2.