2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程本章整合提升课件 新人教A版选修1-1

第二章圆锥曲线与方程本章整合提升圆锥曲线中的最值问题是一类综合性较强的题目，涉及知识面较广，解法灵活，技巧性强，要想突破需要较强的思维能力和运算能力．下面介绍两种常用的方法：(1)若题目中条件和结论能明显体现出几何特征及意义，则考虑用图形性质来解决，这就是几何法．(2)若题目中的条件和结论能体现出明显的函数关系，则可首先建立起目标函数，再用求函数最值的方法求解，这种方法可称为代数法．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上的动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是________．【思路探索】画出示意图，用几何法求解．【解析】如图，由题意知，抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.过点F作FQ⊥l，垂足为Q，易知，|FQ|即为所求．由点到直线的距离公式，得|FQ|＝|4×1－3×0＋6|32＋42＝2.【答案】2已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求l1l2＋l2l1的最大值．【思路探索】(1)设出P(x，y)，则Q(x，－1)，利用向量的坐标运算可得解；(2)设出圆心M(a，b)，写出M的方程，令y＝0，求出A，B的坐标，用a表示l1和l2，再用基本不等式求得最大值．【解】(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)．∵QP→·QF→＝FP→·FQ→，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y.∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.(2)设圆M的圆心坐标为M(a，b)，则a2＝4b.①圆M的半径为|MD|＝a2＋b－22，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.令y＝0，得(x－a)2＋b2＝a2＋(b－2)2，整理，得x2－2ax＋4b－4＝0.②由①②，解得x＝a±2.不妨设A(a－2,0)，B(a＋2,0)，∴l1＝a－22＋4，l2＝a＋22＋4.∴l1l2＋l2l1＝l21＋l22l1l2＝2a2＋16a4＋64＝2a2＋82a4＋64＝21＋16a2a4＋64.③当a≠0时，由③得l1l2＋l2l1＝21＋16a2＋64a2≤21＋162×8＝22.当且仅当a＝±22时，等号成立；当a＝0时，由③得l1l2＋l2l1＝2.故当a＝±22时，l1l2＋l2l1的最大值为22.[名师点拨]用代数法求函数的最值问题常用方法有配方法、判别式法、函数的单调性法及基本不等式法.在解析几何中，有些几何量的取值与参数无关，这就构成定点、定值问题．解决这类问题时通常是取特殊值来确定定点或定值，再从一般情况进行验证，或者将问题转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的．(2019·沈阳期末)已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路探索】(1)证明AB的中点到准线的距离等于|AB|的一半即可．(2)可设直线方程为x＝ty＋m，表示出1|AM|2＋1|BM|2，判断当m为何值时，此式为常数即可．【解】(1)证明：当m＝1时，且直线l的斜率为1时，直线l的方程为y＝x－1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入抛物线C的方程，消去y得，x2－6x＋1＝0，由韦达定理可得x1＋x2＝6，x1x2＝1，由弦长公式可得|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝2[x1＋x22－4x1x2]＝262－4×1＝8，又因为线段AB的中点的横坐标为x1＋x22＝3，所以线段AB的中点到抛物线准线x＝－1的距离为4，因此，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．(2)由题意可设直线l的方程为x＝ty＋m，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入抛物线方程并化简得y2－4ty－4m＝0，由韦达定理可得y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，|AM|2＝(1＋t2)y21，同理可得|BM|2＝(1＋t2)y22，所以1|AM|2＋1|BM|2＝11＋t2y21＋11＋t2y22＝y21＋y221＋t2y21y22＝y1＋y22－2y1y21＋t2y21y22＝16t2＋8m161＋t2m2＝2t2＋m21＋t2m2＝2t2＋m2m2t2＋2m2为定值，所以22m2＝m2m2(m0)，即m＝2时，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值14.此时，定点M的坐标为(2,0)．[名师点拨]求解定点、定值的常用方法：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点或值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得定点或定值.如图，设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．【思路探索】(1)可根据抛物线的定义求p的值；(2)由(1)可得抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)(t≠0，t≠±1)．设出AB的方程与y2＝4x联立求得B的坐标，由FN，BN的方程求得N的坐标，再利用A，M，N三点共线求解．【解】(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.∵AF与y轴不垂直，∴可设直线AF：x＝ny＋1(n≠0)，由y2＝4x，x＝ny＋1，消去x得y2－4ny－4＝0.∴y1y2＝－4，∵A(t2,2t)从而得B1t2，－2t.∴直线AB的斜率为kAB＝2tt2－1，∴直线FN的斜率为kFN＝－t2－12t.从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t，∴Nt2＋3t2－1，－2t.设M(m,0)，∵A，M，N三点共线，∴2tt2－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，∴m＝2t2t2－1＝2＋2t2－1.∵t≠0，t≠±1，∴m0或m2.经检验，m0或m2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．[名师点拨]根据直线与圆锥曲线的位置关系，利用判别式以及其他相应的几何元素的位置关系，构建特定字母的不等式组，通过解不等式组求出特定字母的取值范围.与圆锥曲线有关的轨迹问题是高考的重要题型之一，一般放在解答题的第一问．下面介绍求轨迹方程常用的三种方法．1．直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M(x，y)；(2)写出适合条件的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化简方程为最简形式；(5)证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．注意：①在实际解答过程中，往往省略(2)和(5)．但是不能忽略其作用，应当检验所求的方程与题中曲线是否等价．要把多余的点去掉，把漏掉的点补上，保证曲线的完备性和纯粹性．②“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时应先求出“轨迹方程”，然后说明方程的轨迹图形是什么曲线类型．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于0的等差数列，求点P的轨迹方程．【思路探索】首先设出点P(x，y)，然后计算各个数量积，根据题设条件列出关系式，化简求得点P的轨迹方程．【解】设点P(x，y)，∵M(－1,0)，N(1,0)，∴MP→＝(x＋1，y)，NP→＝(x－1，y)，MN→＝(2,0)．∴MP→·MN→＝2(x＋1)，PM→·PN→＝MP→·NP→＝(x＋1)(x－1)＋y2＝x2＋y2－1，NM→·NP→＝－2(x－1)＝2(1－x)．∵MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于0的等差数列，∴2(x2＋y2－1)＝2(x＋1)＋2(1－x)，即x2＋y2＝3.又NM→·NP→－MP→·MN→＝2(1－x)－2(x＋1)＝－4x0，∴x0.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x0)．2．定义法求轨迹方程如果动点的轨迹满足已知圆锥曲线的定义，可以先设出方程，再确定方程中待定系数．(2019·蕉岭月考)已知一动点P(x，y)和两定点F1(－2,0)，F2(2,0)，且||PF1|－|PF2||＝23，则动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过F2作一斜率为1的直线l，交曲线E于不同的点C，D，求线段|CD|的长．【思路探索】(1)中||PF1|－|PF2||＝23符合双曲线的定义．(2)中直线方程与曲线方程联立可求解．【解】(1)由双曲线的定义可知，曲线E为双曲线，设其方程为x2a2－y2b2＝1，∴2a＝23，2c＝4，∴a＝3，c＝2，∴b＝c2－a2＝4－3＝1，故所求曲线E的方程为x23－y2＝1.(2)由已知可得直线l的方程为y＝x－2，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将y＝x－2代入x2－3y2＝3中消去y，整理得2x2－12x＋15＝0.∴x1＋x2＝6，x1x2＝152，∴|CD|＝x1－x22＋y1－y22＝2|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝23，故所求|CD|的长为23.[名师点拨]定义法和待定系数法适用于已知动点的轨迹是什么曲线，设出其轨迹方程，利用已知条件把待定系数求出来，使问题得解.3.代入法求轨迹方程代入法也称相关点法，其特点是动点M(x，y)，随着已知曲线C′上的点M′(x′，y′)的变化而变化．根据题设找出M与M′的关系，即用x，y表示出x′，y′.再代入C′的方程，化简后即得动点M的轨迹方程．设λ0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，使P满足QM→＝λMP→，求点P的轨迹方程．【思路探索】设出P(x，y)，由Q，M，P三点共线，得M(x，x2)，Q(x，y0)，利用BQ→＝λQA→，可得y0与λ，x的关系式．设出B(x1，y1)，利用BQ→＝λQA→，可得用λ，x，表示x1，y1的关系式，代入y1＝x21即可．【解】由QM→＝λMP→知，Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，得(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，即x－x1＝λ1－x，y0－y1＝λ1－y0，解得x1＝1＋λx－λ，y1＝1＋λy0－λ.②将①代入②消去y0，得x1＝1＋λx－λ，y1＝1＋λ2x2－λ1＋λy－λ.③∵点B在抛物线y＝x2上，∴y1＝x21，将③代入y1＝x21，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，即(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，即2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.由题意知λ0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.即所求的点P的轨迹方程为2x－y－1＝0.[名师点拨]当动点P的轨迹不易直接求出时，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一个动点Q(x′，y′)运动而有规律的运动，且动点Q(x′，y′