2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第一课时

第二章圆锥曲线与方程2．4抛物线2．4.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2．会用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题．‖知识梳理‖抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图象范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴________轴_________轴顶点(0,0)焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2性质离心率e＝_________xy1解剖难点探究提高重点难点突破抛物线只有一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点、一个焦点、一条准线，且焦点与准线分别在顶点的两侧，它们到顶点的距离相等，都为p2.根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离之比为1.因此，抛物线的离心率为1.抛物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、对称轴、顶点、离心率、开口方向等，在解题时一定要注意抓住p的几何意义：p表示焦点到准线的距离，另外抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线，在抛物线中，通过焦点且垂直于对称轴的弦，即抛物线的通径，其长度为2p.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一抛物线几何性质的应用设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()A.433B．8C.833D．163【思路探索】根据抛物线的定义解题．【解析】∵P为抛物线上一点，PA⊥l(l为准线)，∴|PA|＝|PF|.又kAF＝－3，∴∠AFO＝60°.又AP∥x轴，∴∠PAF＝60°，∴△APF为等边三角形．设l交x轴于B，在Rt△ABF中，cos60°＝|BF||AF|＝4|AF|，∴|AF|＝412＝8.又|PF|＝|AF|，∴|PF|＝8.【答案】B[名师点拨]掌握抛物线的定义及性质特点是解决此类问题的关键.(1)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－3，则△PAF的面积为()A．23B．43C．8D．83解析：设准线与x轴交于点Q，因为直线AF的斜率为－3，|FQ|＝2，所以∠AFQ＝60°，|FA|＝4.又因为|PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为34×|FA|2＝34×42＝43.(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，求抛物线的标准方程．解：由已知，得ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，解得ba＝3，即渐近线方程为y＝±3x.而抛物线准线方程为x＝－p2，于是A－p2，－3p2，B－p2，3p2，从而△AOB的面积为12·3p·p2＝3，可得p＝2.所以其标准方程为y2＝4x.题型二抛物线的焦点弦的性质及应用已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)|AB|＝x1＋x2＋p；(2)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝2psin2θ；(3)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(4)1|AF|＋1|BF|为定值2p.【思路探索】(1)是焦点弦公式，可根据抛物线的定义求解；(2)可设出直线AB的方程y＝tanθx－p2，代入y2＝2px，利用韦达定理及焦点弦公式求解；(3)可将直线与抛物线联立，利用韦达定理求解；(4)可利用(1)中的|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，代入化简求解．【证明】(1)∵AB过y2＝2px的焦点，∴|AB|＝|AF|＋|BF|，根据抛物线的定义可知|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.(2)∵直线AB过焦点F，倾斜角为θ，当θ≠90°时，∴设AB的方程为y＝tanθx－p2，由y＝tanθx－p2，y2＝2px，得tan2θx－p22＝2px，即tan2θx2－(ptan2θ＋2p)x＋p2tan2θ4＝0，①由题意得，方程①有两根x1，x2，由韦达定理，得x1＋x2＝p2＋tan2θtan2θ.又|AB|＝x1＋x2＋p＝p2＋tan2θtan2θ＋p＝p2＋2tan2θtan2θ＝2psin2θ＋cos2θsin2θ＝2psin2θ.当θ＝90°时，显然|AB|＝2p＝2psin290°，符合上式．综上，|AB|＝2psin2θ.(3)当AB的斜率不存在时，Ap2，p，Bp2，－p.此时x1x2＝p24，y1y2＝－p2.当AB的斜率存在时，设斜率为k，则AB：y＝kx－p2，由y＝kx－p2，y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k24＝0，由韦达定理，得x1x2＝p24，x1＋x2＝k2p＋2pk2.又y1y2＝k2x1－p2x2－p2＝k2x1x2－p2x1＋x2＋p24＝k2p24－k2p2＋2p22k2＋p24＝－p2.(4)∵1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24，由(3)，知x1＋x2＝k2p＋2pk2，x1x2＝p24，∴上式＝2k2p＋2pk2p24＋p2·k2p＋2pk2＋p24＝2k2p＋2pp2＋p2k2k2＝2p.[名师点拨]本例中的4个小题均可作为抛物线y2＝2px的焦点弦的性质，其它标准抛物线可类似求得．在解题过程中注意运用.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)解法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由y＝kx－1，y2＝4x，整理，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝2k2＋2k2，x1x2＝1，由|AB|＝x1＋x2＋p＝2k2＋2k2＋2＝8，解得k2＝1，又k＞0，∴k＝1，∴直线l的方程为y＝x－1.解法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|＝2psin2θ＝4sin2θ＝8，解得sin2θ＝12，又k＞0，即倾斜角为锐角，∴θ＝π4，则直线的斜率k＝1，∴直线l的方程为y＝x－1.(2)由(1)可得，AB的中点坐标为D(3,2)，则直线AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5，设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16，解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6，因此，所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)解析：抛物线y2＝2px(p0)的准线方程为x＝－p2，由题意得－p2＝－1，∴p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．答案：B2．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN的中点到准线的距离为()A.32B．2C．3D．4解析：设点M，N的横坐标分别为x1，x2，则有(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，∴x1＋x2＝4，∴x1＋x22＝2，即线段MN的中点到y轴的距离是2，∴线段MN的中点到准线x＝－1的距离为3.答案：C3．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点是双曲线x25＋p－y27＋p＝1的一个焦点，则p的值为()A．4B．6C．8D．12解析：抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0，双曲线x25＋p－y27＋p＝1的半焦距c＝5＋p＋7＋p＝12＋2p.由题意得p2＝12＋2p，∴p24＝12＋2p，即p2－8p－48＝0，解得p＝12或p＝－4(舍去)．答案：D4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程为______________________．解析：由题意，得p2＝6，∴p＝12.又对称轴是x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x.答案：y2＝24x或y2＝－24x5．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，求|PA|＋|PO|的最小值．解：∵y2＝－8x，∴F(－2,0)，准线方程为x＝2，设A(xA，yA)，则－xA＋2＝4，∴xA＝－2，代入y2＝－8x，得y2＝16，不妨取yA＝4，即A(－2,4)，设A关于准线x＝2的对称点为Q(x′，y′)，可得Q(6,4)，故|PA|＋|PO|≥|OQ|＝62＋42＝213.