2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第二课时

第二章圆锥曲线与方程2．3双曲线2．3.2双曲线的简单几何性质第二课时直线与双曲线的位置关系梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解直线与双曲线的位置关系及其判定方法．2．会求直线与双曲线相交，所得的弦长，中点弦等问题．‖知识梳理‖直线与双曲线的位置关系及判定直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.则直线与双曲线的位置关系如下表：位置关系公共点个数判定方法相交___________或______________________或______________________相切______________________且___________相离______________________且___________2个1个m＝0m≠0Δ＞01个m≠0Δ＝00个m≠0Δ＜0解剖难点探究提高重点难点突破研究直线与双曲线的位置关系一般是联立方程组，转化为一元二次方程，根据判别式及韦达定理求解．直线与双曲线有三种位置关系：①无公共点，直线与双曲线没有公共点；②有一个公共点，此时直线与双曲线的一条渐近线平行或直线与双曲线相切；③有两个公共点，直线与双曲线有两个公共点，即直线与双曲线相交，对于直线与双曲线相交的问题，通常用设而不求和整体代入的方法求解，应重点掌握．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一直线与双曲线的位置关系已知过点P(0,1)的直线l与双曲线x2－y24＝1只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．【思路探索】欲解此题，需将直线与双曲线联立，再利用所得的方程求解．【解】设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2－y24＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0.当4－k2＝0，即k＝±2时，此时的直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，由Δ＝4k2－4(4－k2)(－5)＝0，解得k＝±5.综上，得直线l的斜率k的值为±2或±5.[名师点拨]过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的直线只有两种：一种是与双曲线的渐近线平行的直线，另一种是与双曲线相切的直线．在解决直线与双曲线位置关系的题目时，要注意讨论直线与双曲线联立消元后的方程能否为一次方程，即二次项系数能否为零．如能为零，需分情况讨论．(2019·龙岩一中月考)斜率为2的直线l过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(1，3)C．(1，5)D．(5，＋∞)解析：依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右焦点且与双曲线的左、右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于2，即b2a，因此该双曲线的离心率e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋b2a21＋4＝5.答案：D题型二有关弦长问题(2019·福州检测)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为5，虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．【思路探索】第(1)问，直接由e＝ca和c2＝a2＋b2，求出a2，b2；第(2)问，由l与C联立，消去y，利用韦达定理和弦长公式可求|AB|，再由点到直线的距离公式求△OAB的高，最后求面积．【解】(1)依题意可得ca＝5，2b＝4，c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝2，c＝5，∴双曲线的标准方程为x2－y24＝1.(2)由题意，得直线l的方程为y＝x＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x＋1，x2－y24＝1，可得3x2－2x－5＝0，由韦达定理，可得x1＋x2＝23，x1x2＝－53，∴|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝2×49＋203＝823，原点到直线l的距离为d＝22，∴S△OAB＝12·|AB|·d＝12×823×22＝43.[名师点拨]直线与双曲线相交于A、B两点的弦长问题，通常利用弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|，其中|x1－x2|由直线与双曲线联立，消去y后的一元二次方程利用韦达定理求得，或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．解：(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组x2－y2＝1，y＝kx－1有两个不同的实数根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以1－k2≠0，Δ＝4k2＋81－k2＞0.解得－2＜k＜2且k≠±1.即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2.当A，B在双曲线的一支上且|x1|＞|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝12(|x1|－|x2|)＝12|x1－x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时，S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝12(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|.所以S△OAB＝12|x1－x2|＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(22)2，即－2k1－k22＋81－k2＝8，解得k＝0或k＝±62.又因为－2＜k＜2，且k≠±1，所以当△AOB的面积为2时，实数k的值为0或±62.题型三有关中点弦问题(2019·吉林实验中学检测)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，且a2c＝23.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点P在圆x2＋y2＝5上，求m的值．【思路探索】由于P为中点，可利用点差法求解．【解】(1)由题意，得ca＝3，a2c＝23，解得a＝63，c＝2.∴b2＝c2－a2＝2－23＝43，∴双曲线C的方程为3x22－3y24＝1.(2)由3x22－3y24＝1，x－y＋m＝0，得3x2－6mx－3m2－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2m，又中点P在直线x－y＋m＝0上，∴中点P坐标为(m,2m)，代入x2＋y2＝5得，m＝±1，满足判别式Δ0.∴m的值为±1.[名师点拨]与中点弦有关的问题常用点差法求解，或将直线与曲线联立，利用根与系数的关系求解，在解题时，要注意灵活转化.双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值．若不存在，则说明理由．解：(1)设中点M的坐标为(x，y)，(x≥2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．双曲线x2－y2＝2的焦点F的坐标为(2,0)．∴kAB＝yx－2，又x21－y21＝2，x22－y22＝2，∴x21－x22＝y21－y22，∴(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，∴ky＝x.∴yx－2y＝x，∴y2＝x2－2x，(x≠2)．当x＝2时，AB与x轴垂直，∴AB的中点M的轨迹方程为x2－2x－y2＝0，(x≥2)．(2)假设存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：y＝k(x－2)，由已知得OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，(*)由x2－y2＝2，y＝kx－2得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0.所以x1＋x2＝4k2k2－1，x1x2＝4k2＋2k2－1(k2≠1)代入(*)式，化简得k2＋1＝0无解．所以这样的圆不存在．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B．x24－y2＝1C．x2－y22＝1D．x22－y2＝1解析：选项A中，x2－y24＝1的渐近线方程为y＝±2x.故选A.答案：A2．过原点作直线，与双曲线x2－y2＝1恰有一个交点的直线有()A．0条B．1条C．2条D．4条解析：设l的方程为y＝kx.由y＝kx，x2－y2＝1，得(1－k2)x2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x2－y2＝1恰有一个交点的直线有0条．答案：A3．过双曲线C：x24－y29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是()A．没有交点B．只有一个交点C．两个交点都在左支上D．两个交点分别在左、右支上解析：双曲线C：x24－y29＝1的渐近线方程为y＝±32x，其斜率k＝32tanπ6＝33，结合图象可知，直线l与C有两个交点，且在左、右支上．答案：D4．(2018·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，设A，B到双曲线的同条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x23－y29＝1B．x29－y23＝1C.x24－y212＝1D．x212－y24＝1解析：由题意可求，得Ac，b2a，Bc，－b2a，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0.则d1＝|bc－b2|a2＋b2，d2＝|bc＋b2|a2＋b2.∵d1＋d2＝6，∴|bc－b2|a2＋b2＋|bc＋b2|a2＋b2＝bc－b2＋bc＋b2c＝2b＝6，∴b＝3.又e＝ca＝2，∴c＝2a.又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，∴a2＝3.∴双曲线方程为x23－y29＝1.答案：A5．(2019·晋中调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，P，Q为双曲线上关于原点对称的两点，若PF→·QF→＝0，且∠POFπ6，求该双曲线的离心率的取值范围．解：由PF→·QF→＝0，可得PF⊥QF，在Rt△PQF中，|OF|＝c，∴|PQ|＝2c.∵∠POFπ6，∴0∠PQFπ12，且|PF|＝2csin∠PQF，|QF|＝2ccos∠PQF，取左焦点F′，连接PF′，QF′，可得四边形PFQF为矩形，∴||QF|－|PF||＝|PF′|－|PF|＝2ccos∠PQF－2csin∠PQF＝2a，∴e＝ca＝1cos∠PQF－sin∠PQF＝12cosπ4＋∠PQF∈(1，2)．即该双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．