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第2章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．2.借助性质的应用，提升数学运算素养.自主预习探新知1．双曲线的简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点_________，__________________，_______焦距2c范围________或_____，y∈_________或_____，x∈__对称轴_________性质对称中心______F1(－c,0)F2(c,0)F1(0，－c)F2(0，c)x≤－ax≥ay≤－ay≥ax轴，y轴原点RR顶点_________，________________，________轴实轴：线段____，长：__；虚轴：线段_____，长：___；实半轴长：_，虚半轴长：_离心率e＝ca∈_________性质渐近线__________________A2(a,0)A1(0，－a)A2(0，a)2aB1B22bab(1，＋∞)y＝±baxy＝±abxA1(－a,0)A1A22．等轴双曲线(1)实轴和虚轴______的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝____；②等轴双曲线的渐近线方程为y＝____，它们互相_____．等长2±x垂直思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．C[双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±32x.]1．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±23xB．y＝±49xC．y＝±32xD．y＝±94xB[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]2．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是()A．(4,0)，(0,1)B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)(－7，0)，(7，0)[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±m2x，∴m＝3，求得双曲线方程为x24－y23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]3．若双曲线x24－y2m＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的焦点坐标是________．53[因为渐近线方程为y＝43x，所以ba＝43，所以离心率e＝ca＝1＋ba2＝1＋432＝53.]4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝43x，则双曲线的离心率为________．合作探究提素养由双曲线的方程求其几何性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路探究]本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[解]将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，所以a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±bax＝±23x.作草图，如图所示：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1．将双曲线方程化为标准方程形式；2．判断焦点的位置；3．写出a2与b2的值；4．写出双曲线的几何性质．1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率．[解]将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为y24－x212＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23，∴c＝a2＋b2＝16＝4，∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±33x，离心率e＝2.求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±32x；(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．[思路探究]利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解．[解](1)设以直线y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，当λ0时，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.(2)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.双曲线方程的求解方法1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y＝±nmx为渐近线的双曲线方程可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．[解](1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，故其标准方程为y225－x2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)．∵A(2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.求双曲线的离心率及其取值范围【例3】(1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．[思路探究](1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有ba≥tan60°.(1)1＋32[由题意2c＝AB＝BC，∴AC＝2×2c×sin60°＝23c，由双曲线的定义，有2a＝AC－BC＝23c－2c⇒a＝(3－1)c，∴e＝ca＝13－1＝1＋32.](2)[解]因为双曲线渐近线的斜率为k＝ba，直线的斜率为k＝tan60°＝3，故有ba≥3，所以e＝ca＝a2＋b2a2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．双曲线离心率的求法1．求双曲线的离心率就是求a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a，b，c三者中两者的关系，进而利用c2＝a2＋b2进行转化．2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如ca，或cb.3．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．[解]设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，那么y＝±b2a.由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知PF1＝F1F2，∴b2a＝2c，∴b2＝2ac，∴c2－2ac－a2＝0，∴ca2－2×ca－1＝0，即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋2或e＝1－2(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋2.1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．当堂达标固双基[答案](1)√(2)√(3)×1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．()(2)等轴双曲线的渐近线是y＝±x.()(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．()D[由题意得e＝a2＋3a＝2，∴a2＋3＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a＝()A．2B．62C．52D．1x2－y29＝1[双曲线的焦点在x轴上，则c＝10，ba＝3.又∵a2＋b2＝c2，解得a2＝1，b2＝9，∴方程为x2－y29＝1.]3．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是________．4．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．[解](1)设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由题意知2b＝8，e＝ca＝53，从而b＝4，c＝53a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为x29－y216＝1.(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x29－y227＝1或y29－x227＝1.