2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质（一）课件 新人

第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的几何性质(一)学习目标核心素养1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)1.通过学习抛物线的几何性质，培养学生的直观想象素养.2.以抛物线性质的简单应用为载体，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点__________性质离心率e＝__(0,0)1思考：参数p对抛物线开口大小有何影响？[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是()A．8B．6C．4D．2A[∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8.]2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16yD[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.]3．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2C[由抛物线定义知|FP1|＝x1＋p2，|FP2|＝x2＋p2，|FP3|＝x3＋p2，∴|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|，故选C.]合作探究提素养由抛物线的几何性质求标准方程【例1】抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路探究]解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[解]椭圆的方程可化为x24＋y29＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.用待定系数法求抛物线方程的步骤1．已知双曲线方程是x28－y29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．[解]因为双曲线x28－y29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y2＝82x，其准线方程为x＝－22.抛物线几何性质的应用【例2】已知抛物线y2＝8x，(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．[思路探究](1)利用抛物线对应性质的公式求解；(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．[解](1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝23|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝32|OF|＝3，所以M(3,0)，故设A(3，m)．代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝26或m＝－26，所以A(3,26)，B(3，－26)，所以|OA|＝|OB|＝33，所以△OAB的周长为233＋46.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.本题的关键是根据抛物线的对称性和等腰三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称.另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质.2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个正三角形的边长.[解]如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2.又OA＝OB，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1＞0，x2＞0,2p＞0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，所以y1＝33x1，与y21＝2px1联立，解得y1＝23p.∴|AB|＝2y1＝43p.焦点弦问题[探究问题]以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：1．过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？[提示](1)|AB|＝2x0＋p2(焦点弦长与中点关系)．(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．(3)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2.(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|＝2p(定值)．2．以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？[提示]如图，AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.所以以AB为直径的圆必与准线l相切．【例3】已知抛物线方程为y2＝2px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．[思路探究]根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．[解]∵过焦点的弦长|AB|＝52p，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵y2＝2px的焦点为Fp2，0，∴直线方程为y＝kx－p2.由y＝kx－p2，y2＝2px，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋14k2p2＝0(k≠0)，∴x1＋x2＝k2p＋2pk2，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝k2p＋2pk2＋p，又|AB|＝52p，∴k2p＋2pk2＋p＝52p，∴k＝±2.∴所求直线方程为y＝2x－p2或y＝－2x－p2.1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．[解]设AB中点为M(x0，y0)，由例题解析可知2x0＝x1＋x2＝32p，所以AB的中点M到y轴的距离为34p.2．(变换条件)本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.[解]由例题解析可知AB的方程为y＝kx－p2，即x＝1ky＋p2，代入y2＝2px消x可得y2＝2pky＋p2，即y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2，由A1点的坐标为－p2，y1，B1点的坐标为－p2，y2，得kA1F＝－y1p，kB1F＝－y2p.∴kA1F·kB1F＝y1y2p2＝－1，∴∠A1FB1＝90°.解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．当堂达标固双基1．思考辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(2)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点Fp2，0的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．()(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a0)的通径长为2a．()[提示](1)×抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形．(2)√(3)√2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A．(42，±2)B．(±42，2)C．(±2,42)D．(2，±42)D[抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有y2＝16x，x2＋y2＝x－42＋y2⇒y2＝16x，x＝2⇒x＝2，y＝±42.所以符合题意的点为(2，±42)．]3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)B[由题意知F(1,0)，设Ay204，y0，则OA→＝y204，y0，AF→＝1－y204，－y0，由OA→·AF→＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.]4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是C上一点，若P在第一象限，|PF|＝8，则点P的坐标为________．(6,43)[抛物线的焦点为F(2,0)，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6，所以y0＝8×6＝43，即P(6,43)．]5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，求线段AB的中点到y轴的距离．[解]如图，l：x＝－14为抛物线y2＝x的准线，作AC⊥l于C，BD⊥l于D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋14＋x2＋14＝3，即x1＋x2＝52，所以x1＋x22＝54，即线段AB的中点到y轴的距离为54.