2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A

第二章圆锥曲线与方程2．3抛物线2．3.1抛物线及其标准方程梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解抛物线的定义以及四种标准方程．2．理解抛物线标准方程中参数p的几何意义．3．会求抛物线的标准方程，并会根据抛物线的标准方程求该抛物线的焦点坐标、准线方程．‖知识梳理‖1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_______，直线l叫做抛物线的_______．相等焦点准线2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)______________x＝－p2Fp2，0y2＝－2px(p0)F－p2，0____________x2＝2py(p0)___________y＝－p2x2＝－2py_________F0，－p2_________(p0)y＝p2F0，p2x＝p2解剖难点探究提高重点难点突破1．对抛物线定义的理解在抛物线的定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于直线l的一条直线；当l不经过点F时，点的轨迹才是抛物线．2．抛物线的标准方程及其标准形式(1)抛物线标准方程的共同点．①坐标原点为抛物线的顶点．②焦点都在坐标轴上，坐标轴也是抛物线的对称轴．③准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点距离都等于一次项系数的绝对值的14，即2p4＝p2.(2)抛物线的标准方程有四种类型，方程中均只含有一个参数p，称为焦参数，它是抛物线的定形条件，其几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.(3)抛物线的标准方程的形式特点在于：等号左边是某变量的完全平方，等号右边是另一变量的一次项，其系数为±2p，这种形式和它的位置特征相对应．(4)当焦点在x轴上时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向右，为负时开口向左；当焦点在y轴上时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向上，为负时开口向下．3．抛物线的非标准形式(1)焦点在x轴的抛物线方程为y2＝mx(m≠0)，当m0时，焦点在x轴的正半轴上；当m0时，焦点在x轴的负半轴上．(2)焦点在y轴的抛物线方程为x2＝my(m≠0)，当m0时，焦点在y轴的正半轴上；当m0时，焦点在y轴的负半轴上.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点在直线3x－4y－12＝0上；(3)焦点到准线的距离为52.【思路探索】(1)点(－3，－1)在第三象限，则抛物线的焦点可能在x轴的负半轴上，也可能在y轴的负半轴上，按两种情况求解．(2)因为标准方程的焦点在坐标轴上，所以只要求出直线与坐标轴的交点即为抛物线的焦点．(3)由p的几何意义知，p＝52，下一步按抛物线的开口方向求解．【解】(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴可设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝－2py(p0)．把点(－3，－1)分别代入y2＝－2px和x2＝－2py，得(－1)2＝－2px×(－3)或(－3)2＝－2px×(－1)，即2p＝13或2p＝9.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y.(2)直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点坐标为(0，－3)和(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6.此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求的抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.(3)由焦点到准线的距离为52知，p＝52，∴2p＝5.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.[名师点拨]求抛物线的标准方程一般采用待定系数法，先求p，再判断焦点所在的坐标轴，当焦点不确定时，要分情况讨论(一般结合图形确定方程适合哪种形式).已知抛物线C的开口向上，其焦点是双曲线y23－x2＝1的一个焦点，则C的标准方程为()A．y2＝8xB．x2＝8yC．y2＝2xD．x2＝－2y解析：双曲线的焦点坐标为(0,2)，(0，－2)，∵抛物线C的开口向上，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为x2＝8y，故选B.答案：B题型二求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．(1)y2＝－12x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a≠0)．【思路探索】(1)方程为标准形式，直接求解；(2)先化为标准形式再求解；(3)要分a0，a0讨论求解．【解】(1)由y2＝－12x，知p＝6，∴焦点坐标是(－3,0)，准线方程是x＝3.(2)将抛物线方程化为标准形式为x2＝25y，∴p＝15.∴焦点坐标是0，110，准线方程是y＝－110.(3)当a0时，由y2＝ax知，p＝a2，∴焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4；当a0时，由y2＝ax知，p＝－a2，∴焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.综上，y2＝ax(a≠0)的焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.[名师点拨]求抛物线的焦点坐标和准线方程．首先把方程化为标准形式，然后直接写出即可.(1)抛物线y＝4x2的焦点坐标是()A．(1,0)B．(0,1)C.116，0D．0，116(2)(2019·汾阳期中)抛物线x＝14y2的焦点到准线的距离为()A.18B．12C．2D．8解析：(1)∵抛物线y＝4x2的方程可化为x2＝14y，∴抛物线的焦点坐标是0，116，故选D.(2)∵抛物线x＝14y2可化为y2＝4x，∴2p＝4，∴p＝2，∴焦点到准线的距离为2，故选C.答案：(1)D(2)C题型三抛物线定义的应用(1)(2019·黄冈期中)设定点F(1,0)，动圆D过点F且与直线x＝－1相切．则动圆圆心D的轨迹方程为()A．x2＝4yB．x2＝2yC．y2＝4xD．y2＝2x【思路探索】动圆圆心D到定点F的距离与到直线x＝－1的距离相等，符合抛物线的定义．【解析】由题意得，点D的轨迹是以F(1,0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，∴点D轨迹方程为y2＝4x，故选C.【答案】C(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．【思路探索】根据抛物线的定义，把|PF|转化为点P到准线的距离．画出示意图，利用数形结合的思想，可求出点P的坐标．【解】∵(－2)28×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B.由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.此时P的横坐标为－2，代入x2＝8y得y＝12.故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为－2，12.[名师点拨]利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，画出示意图，应用平面几何知识求解.(2019·宜昌期中)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则a的值为________．解析：抛物线y2＝ax的焦点Fa4，0，设直线l的方程为y＝2x－a4，当x＝0时，y＝－a2，∴S△OAF＝12－a2a4＝a216＝4，∴a＝±8.答案：±8题型四抛物线的实际应用一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．【思路探索】要求拱宽a的最小值，需建立适当的直角坐标系，求出抛物线的方程，利用坐标求解．【解】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系如图．则点Ba2，－a4.设隧道所在的抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则a22＝－2p－a4，∴2p＝a.即抛物线方程为x2＝－ay，将(0.8，y0)代入x2＝－ay，得0.82＝－ay0，∴y0＝－0.64a.欲使卡车通过隧道，应有y0－－a43，即a4－0.64a3.∵a0，∴a12.21.故a的最小整数值应为13.[名师点拨]本题解决的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决问题．如右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．解析：设水面与桥的一个交点为A，如下图建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1，故抛物线方程为x2＝－2y.设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0，－3)，则x20＝6，x0＝±6，所以水面宽为26米．答案：26即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·汕头月考)已知抛物线方程为x2＝－2y，则其准线方程为()A．y＝－1B．y＝1C．y＝12D．y＝－12解析：由抛物线方程x2＝－2y可得准线方程为y＝12，故选C.答案：C2．对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是()A．开口向上，焦点为(0,1)B．开口向上，焦点为0，116C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，焦点为116，0答案：A3．(2019·鸡西月考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与抛物线y2＝20x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝17，则双曲线的离心率为()A.5B．53C.54D．52解析：∵抛物线y2＝20x的焦点为(5,0)，∴由题意得c＝5.设P(x，y)，由|PF|＝17，得x＋5＝17，∴x＝12，∴y2＝20×12＝240，∵P在双曲线上，∴2a＝12＋52＋240－12－52＋240＝23－17＝6，∴a＝3，∴e＝53，故选B.答案：B4．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是()A．1B．12C.14D．18解析：∵抛物线的标准方程为x2＝12y，∴p＝14，∴焦点到准线的距离是14，故选C.答案：C5．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．解：解法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝x－52＋y2－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋20，所以x－52＋y2＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.解法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，故其方程为y2＝20x.