2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭

第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养.2.借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养.自主预习探新知1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(ab0)范围__________________________________________对称性对称轴为_________，对称中心为_________________________________________________顶点______________________________________y2a2＋x2b2＝1－b≤x≤b且－a≤y≤a－a≤x≤a且－b≤y≤b坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长|B1B2|＝，长轴长|A1A2|＝焦点_______________________________________焦距|F1F2|＝____2b2aF1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的．(2)性质：离心率e的范围是．当e越接近于1时，椭圆____；当e越接近于时，椭圆就越接近于圆．ca离心率(0，1)越扁0思考：(1)离心率e能否用ba表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示](1)e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2，所以e＝1－ba2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同．1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)D[椭圆方程可化为x2＋y26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．]2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5，3，0.8B．10，6，0.8C．5，3，0.6D．10，6，0.6B[椭圆方程可化为x29＋y225＝1，则a＝5，b＝3，c＝25－9＝4，e＝ca＝45，故选B.]3．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()A．8B．7C．5D．4A[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.]4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．x216＋y24＝1[由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是x216＋y24＝1.]合作探究提素养根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解]椭圆方程可化为x24＋y2m＝1.(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝m，c＝4－m，∴e＝ca＝4－m2＝12，∴m＝3，∴b＝3，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4，23，焦点坐标为F1－1，0，F21，0，顶点坐标为A1－2，0，A22，0，B1(0，－3)，B2(0，3)．(2)当m＞4时，a＝m，b＝2，∴c＝m－4，∴e＝ca＝m－4m＝12，解得m＝163，∴a＝433，c＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F10，－233，F20，233，顶点坐标为A10，－433，A20，433，B1(－2，0)，B2(2，0)．用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．1．已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．[解](1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝35.(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1.性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④离心率：e＝35.利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k10)或y212＋x26＝k2(k20)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.(3)法一：由题意知e2＝1－b2a2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2b2，a设所求椭圆的方程为x22b2＋y2b2＝1或y22b2＋x2b2＝1.将点M(1，2)代入椭圆方程得12b2＋4b2＝1或42b2＋1b2＝1，解得b2＝92或b2＝3.故所求椭圆方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.法二：设所求椭圆方程为x212＋y26＝k1(k10)或y212＋x26＝k2(k20)，将点M的坐标代入可得112＋46＝k1或412＋16＝k2，解得k1＝34，k2＝12，故x212＋y26＝34或y212＋x26＝12，即所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca等．(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．提醒：与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝k1(k10，焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝k2(k20，焦点在y轴上)．2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为()A.x29＋y216＝1B.x225＋y216＝1C.x216＋y225＝1D.x216＋y29＝1B[由题意，得2a＋2b＝18，c＝3，a2＝b2＋c2，解得a＝5，b＝4.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.](2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝23，则椭圆的标准方程是________．x29＋y25＝1或x25＋y29＝1[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝23，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以c3＝23，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.]求椭圆的离心率[探究问题]1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？[提示]如图，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴ca＝mb，①又P(－c，m)在椭圆上，∴c2a2＋m2b2＝1.②将①代入②，得2c2a2＝1，即e2＝12，∴e＝22.2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，求椭圆的离心率e.[提示]由A(－a，0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝ba，故AB所在的直线方程为y－b＝bax，即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c，0)，由点到直线的距离公式可得d＝|－bc＋ab|a2＋b2＝b7，∴7·(a－c)＝a2＋b2.又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8ca2－14ca＋5＝0.∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝12或e＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e＝12.【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________．思路探究：△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|用c表示．33[不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33.]求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．3．(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A.3－1B．2－3C.2－1D．2－2(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．(1)A(2)3－1[(1)如图，设F(c，0)，由△OAF是等边三角形，得Ac2，3c2，因为点A在椭圆上，所以有c24a2＋3c24b2＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2②，联立①②，得c2＝(4－23)a2，即c＝(3－1)a，则其离心率e＝ca＝3－1.(2)法一：如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵|NF