2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课件 新人教A

第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．会求双曲线的标准方程．3．会用双曲线的定义和标准方程解决一些简单问题．‖知识梳理‖1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的___________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这___________叫做双曲线的焦点，______________叫做双曲线的焦距．差的绝对值两个定点两点间的距离2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程____________________(a0，b0)____________________(a0，b0)焦点坐标__________________________________________________________________________a，b，c的关系c2＝__________________________________x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2解剖难点探究提高重点难点突破1．对双曲线定义的理解双曲线的定义可用符号表示为||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)．(1)当2a|F1F2|时，双曲线是两个分支．(2)当2a＝0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(3)当2a|F1F2|时，点的轨迹不存在．(4)若定义中“差的绝对值”去掉绝对值符号，点的轨迹为双曲线的一支．当|PF1|－|PF2|＝2a时，表示双曲线的右支；当|PF1|－|PF2|＝－2a时，表示双曲线的左支．2．双曲线与椭圆的比较(1)区别曲线椭圆双曲线适合条件的点P的集合|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)|PF1|－|PF2|＝±2a(2a|F1F2|)曲线椭圆双曲线标准方程x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0，a与b大小不定)曲线椭圆双曲线a，b，c之间的关系a2＝b2＋c2c2＝a2＋b2图形特征封闭的曲线分两支，不封闭(2)联系方程Ax2＋By2＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当A0，B0，A≠B时表示椭圆；当AB0时，表示双曲线．3．双曲线方程的形式特点(1)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(2)焦点F1，F2是双曲线定位条件，当x2项的系数为正时，焦点在x轴上；当y2项的系数为正时，焦点在y轴上．可记忆“焦点跟着正项走”．(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一对双曲线标准方程的理解命题p：f(x)＝x2＋mx＋1的定义域为R；命题q：方程x2m＋y22＝1表示焦点在y轴上的双曲线．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【思路探索】先分别确定p、q为真时m的取值范围，再根据条件，确定m的取值范围．【解】若p为真，则x2＋mx＋1≥0恒成立，∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.若q为真，则m0，∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p与q一真一假，若p真q假，则0≤m≤2，若p假q真，则m－2，∴实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[0,2]．[名师点拨]由方程判定曲线类型与焦点位置要根据双曲线、椭圆方程中分母的构成特点去判断.双曲线x216－y29＝1的右支上有一点P，到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为()A．7B．23C．5或25D．7或23解析：由双曲线x216－y29＝1知，焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，依题意|PF2|＝15，∴|PF1|－|PF2|＝2a＝2×4＝8.∴|PF1|＝|PF2|＋8＝15＋8＝23，故选B.答案：B题型二求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；(2)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，经过点(32，2)；(3)经过点P3，154，Q－163，5，焦点在坐标轴上．【思路探索】可用待定系数法求解，求解时注意先定位再定量．【解】(1)∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2a2－y26－a2＝1.∵双曲线过点(－5,2)，∴25a2－46－a2＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．故所求的双曲线方程为x25－y2＝1.(2)设所求的双曲线为x216－λ－y24＋λ＝1(－4λ16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．故所求的双曲线方程为x212－y28＝1.(3)设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．∵P3，154，Q－163，5在双曲线上，∴9A＋22516B＝1，2569A＋25B＝1.解得A＝－116，B＝19.故所求双曲线方程为y29－x216＝1.[名师点拨]求双曲线标准方程的方法步骤：(1)(2019·邯郸月考)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点坐标为(0，b)，则该双曲线的标准方程可能为()A.x22－y2＝1B．x23－y2＝1C.x24－y2＝1D．x23－y22＝1(2)设双曲线C的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点为(1,0)，则C的方程为________．解析：(1)由题可知bc＝tan30°，∴b＝33c，即b2＝13c2，∴a2＝c2－b2＝3b2－b2，∴a2＝2b2，∴双曲线的标准方程可能为x22－y2＝1，故选A.(2)由题意得c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝1，又双曲线的焦点在x轴上，故所求的双曲线方程为x2－y2＝1.答案：(1)A(2)x2－y2＝1题型三双曲线定义的应用如图，若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1||PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．【思路探索】(1)根据双曲线的定义可得点M到另一个焦点的距离；(2)为双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F1PF2的大小，可利用双曲线的定义及余弦定理求得结果．【解】由双曲线的标准方程x29－y216＝1，知a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)设点M到另一个焦点的距离为x，由双曲线的定义，得|x－16|＝6，解得x＝10或x＝22.∵c－a＝5－3＝2,102,222，∴点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF1|－|PF2||＝6平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1||PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝100－1002|PF1||PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°.∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝12×32＝16.[名师点拨](1)因为点M不知位于哪一支上，所以要分两种情况讨论求解．为了避免讨论，可根据双曲线的定义列方程求解．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，主要应用双曲线的定义，其次应用余弦定理，勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意应用整体思想和一些变形技巧.(1)已知点M为双曲线x225－y29＝1的左支上一点，其左右焦点分别为F1，F2，点N是线段MF2的中点，O是坐标原点，且|ON|＝4，则△MF1F2的周长等于()A．26B．18C．26＋234D．18＋34(2)(2019·唐山月考)设双曲线C：x28－y2m＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝()A．8B．4C．82D．42解析：(1)在△MF1F2中，∵N是线段MF2的中点，O是F1F2的中点，∴ON∥MF1，且|ON|＝12|MF1|，∴|MF1|＝8，∴|MF2|＝8＋2a＝18，又c2＝25＋9＝34，∴c＝34，∴△MF1F2的周长为18＋8＋234＝26＋234，故选C.(2)如图所示，∵M，N在双曲线上，∴|NF1|－|NF2|＝2a，|MF2|－|MF1|＝2a，又∵|MF2|＝|NF2|，∴|NF1|－|MF1|＝4a，∴|MN|＝4a，由双曲线C：x28－y2m＝1可知，a＝22，∴|MN|＝82，故选C.答案：(1)C(2)C即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·海口月考)以双曲线x24－y212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.y216＋x212＝1B．x216＋y212＝1C.x212＋y24＝1D．y212＋x24＝1解析：由双曲线的标准方程可知焦点为(±4,0)，顶点为(±2,0)，所以椭圆的标准方程为x216＋y212＝1，故选B.答案：B2．(2019·遂宁月考)设椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23－y2＝1的公共焦点为F1，F2，A是两曲线的一个公共点，则|AF1|·|AF2|的值等于()A．3B．4C．5D．6解析：不妨设点A在第一象限，由题可知，|AF1|＋|AF2|＝26，①|AF1|－|AF2|＝23，②①2－②2得4|AF1|·|AF2|＝24－12＝12，∴|AF1|·|AF2|＝3，故选A.答案：A3．已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2.当点P的纵坐标为12时，点P到坐标原点的距离是()A.62B．32C.3D．2解析：由题设可得c＝2，a＝1，∴b＝c2－a2＝1.∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．把y＝12代入得x＝－52，∴点P的坐标为－52，12，∴点P到原点的距离为－52－02＋12－02＝62.答案：A4．(2019·淮南联考)已知F1，F2分别是双曲线x2－y2b2＝1(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________．解析：由双曲线x2－y2b2＝1可知a＝1，∵A是双曲线上在第一象限内的点，∴|AF1|＝|AF2|＋2a＝4，|BF1|＝|BF2|＋2，|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BF1|＝|AB|，∴△BAF1为等腰三角形，∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△ABF1为等腰直角三角形，∴|AB|＝|BF1|＝22，∴S△F1AB＝12|AB||BF1|＝12×22×22＝4.答案：45．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝12的距离的比是2∶1，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：设点P的坐标为(x，y)，由题意得x－22＋y－02x－12＝2，化简得x2－y23＝1，∴点P的轨迹方程为x2－y23＝1，轨迹为以(±2,0)为焦点，实轴长为2的双曲线．