2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版

第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．1.1椭圆及其标准方程梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解椭圆的实际背景、体验从具体情境中抽象出椭圆的过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．‖知识梳理‖1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的________等于常数(________|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse)．(2)这两个定点叫做椭圆的________，两个焦点间的距离叫做椭圆的________.和大于焦点焦距(3)设点M是椭圆上任意一点，点F1，F2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a|F1F2|0}．2．椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程______________(ab0)____________(ab0)图形x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1焦点位置在x轴上在y轴上焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝_______________b2＋c2解剖难点探究提高重点难点突破1．椭圆的定义定义中的条件2a|F1F2|0不能少，这是根据三角形中两边之和大于第三边得出来的，否则：(1)当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；(2)当2a|F1F2|时，其轨迹不存在．因此，应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a|F1F2|这一条件．2．椭圆的标准方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)和y2a2＋x2b2＝1(ab0)，它们：(1)形状、大小相同，焦距相等，且都有a2＝b2＋c2；(2)椭圆的位置不同，椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．3．标准方程的一般形式方程Ax2＋By2＝1(A0，B0，且A≠B)含焦点在x轴上或在y轴上两种情况，方程可变形为x21A＋y21B＝1.当1A1B时，表示焦点在x轴上的椭圆；当1A1B时，表示焦点在y轴上的椭圆．4．求椭圆标准方程的常用方法(1)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹是什么图形，然后根据定义确定方程，这种方法称为定义法．(2)待定系数法：由题目的条件能确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数(如a，b)，这种方法称为待定系数法．其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一考查椭圆的标准方程(2019·石家庄月考)“0m2”是“方程x2m＋y22－m＝1表示椭圆”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【思路探索】根据椭圆方程写出m符合的条件．【解析】若方程x2m＋y22－m＝1表示椭圆，则m0，2－m0，m≠2－m，∴0m1或1m2，∴“0m2”是“方程x2m＋y22－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.【答案】C[名师点拨]方程x2m＋y2n＝1表示椭圆的条件是m0，n0，m≠n.表示焦点在x轴上的椭圆是m0，n0，mn，表示焦点在y轴上的椭圆是m0，n0，mn.已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．解析：由2c＝4，得c＝2.又焦点在y轴上，所以m－2＝10－m＋4，m＝8.答案：8题型二求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，经过点(5,0)；(2)经过两点(2，－2)，－1，142.【思路探索】(1)本题有三种解法，一是根据焦点坐标和椭圆的定义求出c，a；二是用待定系数法求解；三是充分利用坐标(5,0)直接得a＝5.(2)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况求解，也可利用椭圆的一般方程求解．【解】(1)解法一：∵椭圆焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．依椭圆的定义得2a＝5＋42＋0－02＋5－42＋0－02＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.故所求椭圆的方程为x225＋y29＝1.解法二：依题意可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵点(5,0)在椭圆上，∴25a2＝1，a2＝25.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆的方程为x225＋y29＝1.(2)解法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由已知条件，得4a2＋2b2＝1，1a2＋144b2＝1，解得1a2＝18，1b2＝14，即a2＝8，b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知条件，得4b2＋2a2＝1，1b2＋144a2＝1，解得1b2＝18，1a2＝14.即a2＝4，b2＝8，则a2b2，与ab0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.解法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．将两点(2，－2)，－1，142代入，得4A＋2B＝1，A＋144B＝1，解得A＝18，B＝14.所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.[名师点拨](1)用定义法求椭圆标准方程的步骤：①由焦点坐标确定方程的形式；②由椭圆的定义求出a；③由b2＝a2－c2求出b；④写出椭圆的方程．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的步骤：①依据题设条件判断焦点所在坐标轴，设出相应的标准方程；②将已知条件代入，求出a，b(a2＝b2＋c2，ab0)；③写出椭圆的标准方程．(3)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和焦点在y轴上分情况解答，也可以设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)求解.(2019·上饶月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝5，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)；(2)过点(22，23)，且与椭圆x225＋y29＝1有相同焦点．解：(1)椭圆的焦点为(0，－3)，(0,3)，焦点在y轴上，∴c＝3，∵a＝5，∴b2＝a2－c2＝16，∴椭圆的标准方程为x216＋y225＝1.(2)椭圆x225＋y29＝1的焦点为(4,0)，(－4,0)，∴c＝4，且椭圆的焦点在x轴上，∴2a＝22－42＋232＋22＋42＋232＝36－162＋36＋162＝29－42＋29＋42＝222－12＋222＋12＝82.∴a＝42，∴b2＝a2－c2＝32－16＝16，∴椭圆的标准方程为x232＋y216＝1.题型三椭圆定义的应用椭圆x29＋y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求|PF2|的取值范围．【思路探索】在△F1PF2中，利用椭圆的定义及余弦定理求解．【解】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝6，c＝5.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝m2＋n2－202mn0，∴m2＋n220.∴(6－n)2＋n220，解得2n4.故|PF2|的取值范围是(2,4)．[名师点拨]在椭圆中，△F1PF2常称为焦点三角形，解决焦点三角形问题，可利用椭圆的定义，正弦定理和余弦定理求解.(2019·沈阳期末)若椭圆x236＋y216＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为()A．36B．16C．20D．24解析：由椭圆的方程，可知a＝6，b＝4，c2＝a2－b2＝20.∴|PF1|＋|PF2|＝12，①又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝80，②①2－②得，2|PF1||PF2|＝64，∴|PF1||PF2|＝32，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝16，故选B.答案：B题型四与椭圆有关的轨迹问题平面内一动点到直线x＝3的距离与它到点A(1,0)的距离之比为3，则动点的轨迹方程为()A.x23＋y22＝1B．x23－y22＝1C.x＋123＋y22＝1D．x22＋y23＝1【思路探索】设动点坐标为(x，y)，利用条件建立x，y的关系式，可求出轨迹方程．【解析】设动点的坐标为(x，y)，则|x－3|x－12＋y2＝3，化简得2x2＋3y2＝6，∴x23＋y22＝1，故选A.【答案】A[名师点拨]在求动点的轨迹方程时，若没有坐标系，则需先建立直角坐标系，建立适当的坐标系，可使求得的轨迹方程形式简单.已知点M在椭圆x236＋y29＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．解：设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)，∵点M在椭圆上，∴x2036＋y209＝1.∵M是线段PP′的中点，∴x0＝x，y0＝y2，代入x2036＋y209＝1，得x236＋y236＝1，即x2＋y2＝36.∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·会泽一中月考)椭圆x24＋y212＝1的焦点坐标为()A．(±2,0)B．(±22，0)C．(0，±22)D．(0，±23)解析：由椭圆方程可知，椭圆的焦点在y轴上，c＝a2－b2＝12－4＝22，故焦点坐标为(0，±22)．答案：C2．椭圆x216＋y27＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()A．3B．16C．8D．4解析：由椭圆的方程可知a＝4，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝16，故选B.答案：B3．设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A．5B．4C．3D．1解析：由椭圆x29＋y24＝1知，a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又∵|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∵|PF1|2＋|PF2|2＝42＋22＝(25)2＝(2c)2，∴△F1PF2是直角三角形，∴△F1PF2的面积为12×4×2＝4.答案：B4．(2019·遂宁月考)设P是椭圆x225＋y216＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于()A．4B．5C．6D．8解析：∵P是椭圆x225＋y216＝1上一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝6，故选C.答案：C5．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1的内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得，动圆M内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x264＋y248＝1.