2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程2．1曲线与方程梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．‖知识梳理‖1．在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是___________________；(2)以这个方程的解为坐标的点________________________．那么这个方程叫做曲线的方程，这种曲线叫做方程的曲线．这个方程的解都是曲线上的点2．求曲线的方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用_______________________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝___________；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程___________；(4)化方程___________为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．有序实数对(x，y){M|p(M)}f(x，y)＝0f(x，y)＝0解剖难点探究提高重点难点突破曲线的方程与方程的曲线强调：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解，即曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，即符合条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上(完备性)．求曲线的方程时，如果题中没有确定坐标系，首先要选取适当的坐标系，建立坐标系时，通常选取特殊位置为原点，以运算简单为原则．在第二步求方程时，要仔细分析曲线的特征，注意揭示其隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出等式化简，在化简时，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”．最后一步的说明可以省略不写，但某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一曲线的方程与方程的曲线的概念辨析分析下列曲线上的点与相应方程的关系．(1)到两坐标轴距离相等的点与方程y＝x的关系；(2)以坐标原点为圆心，半径为2的圆与方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0.【思路探索】利用曲线的方程与方程的曲线的定义解题．【解】(1)方程y＝x上的点都在一、三象限的角平分线上，即这些点到两坐标轴的距离相等．反之，到两坐标轴距离相等的点的坐标，不一定在y＝x上，而是在y＝－x上．(2)以坐标原点为圆心，以2为半径的圆上的点的坐标，都满足方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0，但以满足(x2＋y2－4)(x－y)＝0的解为坐标的点不一定在以原点为圆心，以2为半径的圆上．[名师点拨]曲线的方程与方程的曲线的定义中所列的两个条件：(1)曲线上点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．这两个条件缺一不可.下列判断正确的是()A．设点A(2,0)，B(0,2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0B．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0C．点M(5，25)在方程x2＋y2＝25(x≤0)表示的曲线上D．与坐标轴距离相等的点的曲线方程为y＝x解析：设点A(2,0)，B(0,2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0(0≤x≤2)，故A不正确；当m＝0时，曲线2x2－3y2－2x＝0过原点；若曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点，则m＝0，故B正确；易知C、D不正确．答案：B题型二求曲线的方程(1)方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示的图形是什么？【思路探索】为了判断方程表示什么曲线(图形)，对方程进行变形，再判断．【解】(1)由方程(x＋y－1)x－1＝0，得x－1≥0，x＋y－1＝0或x－1≥0，x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.∴方程(x＋y－1)x－1＝0表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．(2)方程配方，得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2x－12＝0，y＋12＝0，∴x＝1，y＝－1.∴方程表示的图形是点(1，－1)．[名师点拨]判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线，变形时常用配方、因式分解等方法.下列各对方程表示的是相同曲线的是()A．y＝x，y＝x2B．y＝x，yx＝1C．|y|＝|x|，y2＝x2D．|y|＝|x|，y＝x解析：∵|y|＝|x|⇔y2＝x2，∴|y|＝|x|与y2＝x2表示同一曲线．答案：C已知在Rt△ABC中，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．【思路探索】需要根据条件，建立适当的坐标系，设出动点坐标，再求解．【解】以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．解法一：由△ABC是直角三角形，可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意，可知x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．解法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，则yx＋a·yx－a＝－1(x≠±a)，化简得，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．解法三：由△ABC是直角三角形，可知|OC|＝|OB|，且点C与点B不重合，所以x2＋y2＝a(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．[名师点拨]直接根据动点所满足的条件，把几何关系用x，y表示，从而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式即可．已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA·kMB＝－2.求点M的轨迹C的方程．解：设M(x，y)，则kMA＝yx＋1，kMB＝yx－1(x≠±1)，∴yx＋1×yx－1＝－2，∴x2＋y22＝1(x≠±1)．故动点M的轨迹方程为x2＋y22＝1(x≠±1)．设动点P在圆x2＋y2＝1上移动，M(3,0)，求PM的中点Q的轨迹方程．【思路探索】由于Q点与P点有关，故利用相关点法求解．【解】设Q(x，y)，P(x1，y1)，∵Q为PM的中点，∴x1＋3＝2x，y1＋0＝2y，∴x1＝2x－3，y1＝2y.又∵P(x1，y1)在x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.即点Q的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.[名师点拨]当动点C在某曲线上运动，动点G依赖点C的运动而运动．这种轨迹问题常用的方法是相关点法，其基本步骤为：(1)设G(x，y)，C(x1，y1)，(2)找出x1，y1与x，y之间的关系x1＝fx，y，y1＝gx，y，(3)将C(x1，y1)代入已知曲线，便可得到所求动点的轨迹方程.求点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程．解：设点Q(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任意一点，PQ的中点为M(x，y)，由题意，得x＝x0＋42，y＝y0－22，即x0＝2x－4，y0＝2y＋2.∵点Q(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故所求的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．与y轴距离等于2的点的轨迹方程是()A．y＝2B．x＝2C．y＝±2D．x＝±2解析：与y轴距离等于2的点的轨迹方程是|x|＝2，即x＝±2.答案：D2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，∴方程表示两条直线．答案：C3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由|PM|＝|MQ|，可知M为P，Q的中点，∴x＋x02＝－1，y＋y02＝2，∴x0＝－2－x，y0＝4－y，又∵点P(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(－2－x)－4＋y＋3＝0，∴2x－y＋5＝0.答案：D4．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()解析：由x＋|y－1|＝0，得x≤0，结合图象知，应选B.答案：B5．设P为y＝x2＋1上的一动点，A(0，－3)，AQ→＝13AP→，求点Q的轨迹方程．解：设Q(x，y)，P(x1，y1)，∵AQ→＝13AP→，∴x＝13x1，y＋3＝13y1＋3，即x1＝3x，y1＝3y＋6.又P(x1，y1)在y＝x2＋1上，∴3y＋6＝(3x)2＋1＝9x2＋1，∴y＝3x2－53即为所求的轨迹方程．