2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 1 1.1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选

第二章圆锥曲线与方程§1椭圆1.1椭圆及其标准方程学习目标：1.了解椭圆的实际背景，理解椭圆焦点、焦距的定义．(重点)2.会求一些简单的椭圆的标准方程．(重点)自主预习探新知1．椭圆的定义(1)定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于(大于|F1F2|)的点的集合．(2)焦点两个定点F1，F2.常数(3)焦距两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示|PF1|＋|PF2|＝(常数)，且2a|F1F2|.2a＞思考：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系b2＝________x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)a2－c2思考：确定椭圆的方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且为常数)是P点的轨迹为椭圆的必要不充分条件．()(2)椭圆标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称．()(3)用平面截圆柱所得截面的边界线是椭圆．()(4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.]3．已知两焦点坐标分别为(0,2)和(0，－2)，且经过点(0,5)的椭圆的标准方程为()A.x216＋y225＝1B.x225＋y216＝1C.x225＋y221＝1D.x221＋y225＝1D[由题知焦点在y轴上，且c＝2，a＝5.∴椭圆的方程为x221＋y225＝1.]4．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是________．[解析]由题知椭圆的焦点在y轴上，由c2＝a2－b2＝169－25＝144.∴c＝12，∴焦点坐标为(0，±12)．[答案](0，±12)合作探究提素养【例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．求椭圆的标准方程[解](1)焦点在y轴上，设标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为y216＋x27＝1.(2)a＋b＝8，a2－b2＝16⇒a＋b＝8，a＋ba－b＝16⇒a＋b＝8，a－b＝2⇒a＝5，b＝3.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．依题意有32a2＋－22b2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．依题意有－22a2＋32b2＝1，1a2＋－232b2＝1，解得a2＝5，b2＝15.舍去，故所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15.所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.1．确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常用待定系数法．2．若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．1．求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．因为2a＝5＋32＋02＋5－32＋02＝10，2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆标准方程为y2169＋x2144＝1.【例2】已知P为椭圆x225＋4y275＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．思路探究：因为∠F1PF2＝60°，所以要求S△F1PF2，只要求|PF1|·|PF2|，可根据|PF1|＋|PF2|＝2a及|F1F2|＝2c，结合余弦定理求解．椭圆定义的应用[解]在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，且a2＝25，b2＝754，∴c2＝25－754＝254.∴c＝52，即|F1F2|＝2c＝5.∴25＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|25＝100－3|PF1||PF2|.∴|PF1||PF2|＝25.∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin60°＝12×25×32＝2534.1．椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义．2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝12absinC，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．2.已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．[解]由已知得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝32.所以△PF1F2的面积S＝12·|PF1|·|F1F2|＝12×32×2＝32，即△PF1F2的面积是32.[探究问题]1．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－23，求顶点A的轨迹方程．与椭圆有关的轨迹问题[提示]设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得y－6x·y＋6x＝－23，化简整理，得x254＋y236＝1，又A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为x254＋y236＝1(y≠±6)．2．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆B：(x－3)2＋y2＝4，圆P与圆A内切，与圆B外切，求圆心P的轨迹方程．[提示]设圆P的半径为r，则|PA|＝10－r，|PB|＝2＋r，所以|PA|＋|PB|＝126＝|AB|，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝12，2c＝6，所以c＝3，a＝6，∴b2＝27，所以点P的轨迹方程是x236＋y227＝1.【例3】已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂足为P′，点M在PP′上，并且PM→＝2MP′→，求点M的轨迹．思路探究：设动点Mx，y，Px0，y0→找M，P的关系→用点M坐标表示点P坐标→代入圆方程→得点M轨迹[解]设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，∴x20＋y20＝9.将x0＝x，y0＝3y代入得x2＋9y2＝9，即x29＋y2＝1.∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆x29＋y2＝1.(变条件)将例3中的方程“x2＋y2＝9”变为“(x－1)2＋(y－3)2＝9”，其它条件不变，求点M的轨迹方程．[解]设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.∵P(x0，y0)在圆(x－1)2＋(y－3)2＝9上，∴(x0－1)2＋(y0－3)2＝9，将x0＝x，y0＝3y代入得(x－1)2＋9(y－1)2＝9，∴M点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆x－129＋(y－1)2＝1.1．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．如需建系，注意应使椭圆是标准形式．2．当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式x1＝gx，y，y1＝hx，y.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．当堂达标固双基1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段D[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段．]2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A．1B．2C．3D．4B[由题意得，椭圆标准方程为x2＋y24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k＝2.]3．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形B[根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3.而|F1F2|＝4，所以|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，所以△PF1F2是直角三角形，故选B.]4．已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.[解析]依题意知，a＝7，b＝26，c＝49－24＝5，|F1F2|＝2c＝10.由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100.解得|PF1|·|PF2|＝48.[答案]485．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．[解]以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10