搜索
第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.自主预习探新知反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与矛盾，或与某个矛盾，从而判定，推出的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与、定理、公式、定义或矛盾；(3)与矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．公认的简单事实已被证明了的结论数学公理q为真¬q为假真命题假设1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案]B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交合作探究提素养利用反证法证明否定性命题【例1】(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为()A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案]A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．[证明]假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{Sn}不是等比数列．利用反证法证明存在性命题【例2】已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.[思路探究]“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解]假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于14.∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a0,1－b0,1－c0.∴1－a＋b2≥1－ab14＝12.同理1－b＋c212，1－c＋a212.三式相加得1－a＋b2＋1－b＋c2＋1－c＋a232，即3232，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[证明]假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题[探究问题]反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)0，f(b)0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)0，f(b)0，即f(a)·f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.当堂达标固双基1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案]D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案]B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．