2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法课件 新人教B版选修2

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.自主预习探新知一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的、______、，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有与．定义公理定理综合法分析法一、综合法2．综合法(1)定义：综合法是从推导到的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)．结果原因二、分析法1．定义：分析法是一种从追溯到产生这一结果的的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)结果原因充分1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法就是从结论推向已知．()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明过程如下：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝b＋ca0，1b－1＝a＋cb0，1c－1＝a＋bc0，∴1a－11b－11c－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析]本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．[答案]综合法3.6－22与5－7的大小关系是________．[解析]假设6－225－7，由分析法可得，要证6－225－7，只需证6＋75＋22，即证13＋24213＋410，即42210.因为4240，所以6－225－7成立．[答案]6－225－7合作探究提素养综合法的应用【例1】(1)在△ABC中，已知cosAcosBsinAsinB，则△ABC的形状一定是__________．(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m－n|＝__________.(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)；②a(1－a)≤14；③ba＋ab≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________．[解析](1)∵cosAcosBsinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB0，∴cos(A＋B)0，即cos(π－C)0，∴cosC0，又0Cπ，∴π2Cπ，所以△ABC是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝12，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝12·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝92，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝32.(3)①a2＋b2＋3＝a22＋32＋b22＋32＋a22＋b22≥2a22×b22＋2a22×32＋2b22×32＝ab＋3(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立)．②a(1－a)＝－a2＋a＝－a－122＋14≤14.③当a与b异号时，不成立．④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案](1)钝角三角形(2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)a＋b≥2ab(a≥0，b≥0)．1．综合法是()A．执果索因的逆推证法B．由因导果的顺推证法C．因果分别互推的两头凑法D．原命题的证明方法[答案]B分析法的应用【例2】设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．[思路探究]待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键．[解]当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．当a＋b0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a0，1b－1a1，求证：1＋a11－b.[证明]由已知1b－1a1及a0可知0b1，要证1＋a11－b，只需证1＋a·1－b1，只需证1＋a－b－ab1，只需证a－b－ab0，即a－bab1，即1b－1a1，这是已知条件，所以原不等式得证．综合法与分析法的综合应用[探究问题]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1．[思路探究]先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．[解]法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得ca＋b＋ab＋c＝1，所以ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.[证明]因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而可得不等式x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy成立.当堂达标固双基1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的[解析]直接证明包括综合法和分析法．[答案]A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证()A．(3－5)2＜(6－8)2B．(3－6)2＜(5－8)2C．(3＋8)2＜(6＋5)2D．(3－5－6)2＜(－8)2[解析]要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案]C3．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．[解析]用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案]a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．[解析]因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．[答案]95．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)[证明]法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以ab＋ba－a－b＝ab－b＋ba－a＝a－bb＋b－aa＝(a－b)1b－1a＝a－b2a＋bab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.法二：(分析法)要证ab＋ba≥a＋b，只需证aa＋bb≥ab＋ba，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．