2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法 第2课时 分析法及其

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法第2课时分析法及其应用学习目标核心素养1．了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2．理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点、易混点)通过本节课的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知分析法1．定义分析法是从追溯到的思维方法．具体地说，分析法是从出发，一步一步地寻求结论成立的，最后达到或．2．分析法的推证过程B结论⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A已知结果产生这一结果的原因待证结论充分条件题设的已知条件已被证明的事实1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．()[解析](1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．[答案](1)×(2)×(3)√2．分析法又称执果索因法，已知x0，用分析法证明1＋x1＋x2时，索的因是()A．x22B．x24C．x20D．x21[解析]因为x0，所以要证1＋x1＋x2，只需证(1＋x)21＋x22，即证0x24，即证x20，因为x0，所以x20成立，故原不等式成立．[答案]C3.6－22与5－7的大小关系是__________．[解析]假设6－225－7，由分析法可得，要证6－225－7，只需证6＋75＋22，即证13＋24213＋410，即42210.因为4240，所以6－225－7成立．[答案]6－225－7合作探究提素养应用分析法证明不等式【例1】已知ab0，求证：a－b28aa＋b2－aba－b28b.[思路探究]本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[解]要证a－b28aa＋b2－aba－b28b，只需证a－b28aa－b22a－b28b.∵ab0，∴同时除以a－b22，得a＋b24a1a＋b24b，同时开方，得a＋b2a1a＋b2b，只需证a＋b2a，且a＋b2b，即证ba，即证ba.∵ab0，∴原不等式成立，即a－b28aa＋b2－aba－b28b.1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.[证明]要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，即证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋1a2＋22a＋1a＋4，只需证2a2＋1a2≥2a＋1a.只需证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】求证：以过抛物线y2＝2px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－p2相切．[思路探究][解]如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝12|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，因此只需证|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)．根据梯形的中位线定理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－p2相切．1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tanα2＋tanα＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．[证明]要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证cosα－sinαcosα＋sinα＝3，只需证1－tanα1＋tanα＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－12.∵1－tanα2＋tanα＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用[探究问题]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．[思路探究]可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．[解]由已知条件得2a＝x＋y，b2＝cx，c2＝by.消去x，y得2a＝b2c＋c2b，且a0，b0，c0.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥b＋1c＋1，只需证a＋1≥b＋1＋c＋12，即证2a≥b＋c.由于2a＝b2c＋c2b，故只需证b2c＋c2b≥b＋c，只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.3．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[证明]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2accosB，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c成立.当堂达标固双基1．要证明2＋723，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法[解析]由分析法和综合法定义可知选B.[答案]B2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．a≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3[解析]∵a＋b＝2≥2ab，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.[答案]C3.3a－3b3a－b成立的充要条件是()A．ab(b－a)0B．ab0且abC．ab0且abD．ab(b－a)0[解析]3a－3b3a－b⇔(3a－3b)3(3a－b)3⇔a－b－33a2b＋33ab2a－b⇔3ab23a2b⇔ab2a2b⇔ab(b－a)0.[答案]D4．设a0，b0，c0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．[解析]因为a＋b＋c＝1，且a0，b0，c0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．[答案]95．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.[证明]法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20成立．所以原不等式a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca成立．法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)0，所以2(a2＋b2＋c2)2(ab＋bc＋ca)．所以a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.