2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法 第一课时 综合法课件

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第一课时综合法梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学了解直接证明的一种方法——综合法．并会用综合法证明数学问题．‖知识梳理‖定义推证过程特点利用__________和某些数学______、______、______等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示________、已有的_______、_______、________等，Q表示________________)顺推证法或由因导果法已知条件定义公理定理推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结论解剖难点探究提高重点难点突破综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．综合法的思维特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一利用综合法证明数学问题已知a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥13.【思路探索】欲证a2＋b2＋c2≥13，由于a＋b＋c＝1，只需证：a2＋b2＋c2≥a＋b＋c23即可．【证明】∵a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)，b2＋c2≥2bc(当且仅当b＝c时等号成立)，c2＋a2≥2ac(当且仅当a＝c时等号成立)，∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，即：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2.又a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥13.[名师点拨]用综合法证明不等式主要运用不等式的性质，及如下常见的重要不等式：a2≥0，a2＋b2≥a＋b22≥2ab，ab＋ba≥2(a，b同号)，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca等．在证明题时，要注意a＋b＋c，a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca这三个式子之间的关系，可由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)得出，三式中若知道两式，第三个式子可求出来.若ab0，cd0，|b||c|.(1)求证：b＋c0；(2)求证：b＋ca－c2a＋db－d2.证明：(1)因为|b||c|，且b0，c0，所以b－c，所以b＋c0.(2)因为cd0，所以－c－d0.又因为ab0，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a－cb－d0.所以(a－c)2(b－d)20.所以01a－c21b－d2.①因为ab，dc，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a＋db＋c.所以a＋db＋c0.②所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将以上两不等式①②相乘得b＋ca－c2a＋db－d2.题型二综合法的综合运用设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3，m≠0.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比为q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝32f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：1bn为等差数列．【思路探索】解答本题，需要利用等比数列、等差数列的定义使用综合法加以证明，解题的关键是恰当地处理递推关系．【证明】(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，∴an＋1an＝2mm＋3.又m为常数，且m≠－3，m≠0，∴2mm＋3为不为零的常数．∴{an}是等比数列．(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3.∴a1＝1，b1＝a1＝1.由(1)可得，q＝f(m)＝2mm＋3.∴n∈N且n≥2时，bn＝32f(bn－1)＝32·2bn－1bn－1＋3.∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴1bn－1bn－1＝13.∴数列1bn是首项为1，公差为13的等差数列．[名师点拨]综合法证明题的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从已知条件、公理、定理出发，经过严格的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求的问题.已知m＝(2cosx,23sinx)，n＝(cosx，cosx)，且f(x)＝m·n.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若fA2＝3，且a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝m·n＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，因为－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，所以－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，即单调递增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ，k∈Z.(2)因为fA2＝3，所以2sinA＋π6＋1＝3，sinA＋π6＝1，所以A＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，因为0Aπ，所以A＝π3，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋c2－bc.所以4＝(b＋c)2－3bc，因为b＋c＝4，所以bc＝4，所以S△ABC＝12bcsinA＝3.(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【思路探索】(1)利用PA＝PD，E为AD中点，可得PE⊥AD，又AD∥BC，即可证明PE⊥BC；(2)利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PAB，进而证明平面PAB⊥平面PCD；(3)取PC的中点G，连接GF、GD，证明四边形EFGD是平行四边形，可得EF∥GD，利用线面平行的判定定理，即可证明EF∥平面PCD.【证明】(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点为G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.[名师点拨]利用综合法证明面面之间的垂直关系时，主要利用线、线垂直，证明线面垂直，进而证明面面垂直；证明线、面平行时，常用线、线平行证明线、面平行.如图所示，S为△ABC所在平面外的一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC.证明：作AE⊥SB交SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又∵SA∩AE＝A，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·上饶市民校高二阶段测试)证明命题“f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝ex＋1ex，∴f′(x)＝ex－1ex.∵x0，∴ex1,01ex1，∴ex－1ex0，即f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．他使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D.以上都不是解析：该同学的证明是由已知出发推导出要证的结果，属于综合法证明．答案：A2.若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则()A．ab≤12B．1ab＋ab≥2C．ab≥2D.a2＋b2≥12解析：∵a＋b＝1，∴a2＋b2＋2ab＝1，又∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝1，即a2＋b2≥12.故选D.答案：D3．“2a2b”是“lnalnb”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由2a2b，可得ab，当b0时，lnb没意义，反之，由lnalnb，得ab0，∴2a2b，故“2a2b”是“lnalnb”的必要不充分条件，故选B.答案：B4．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则当x1时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝(x＋3)2－1B．f(x)＝(x－3)2－1C．f(x)＝(x－3)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1解析：设P(x，y)(x1)为y＝f(x)图象上任一点，则P关于x＝1的对称点P′(2－x，y)，且P′在f(x)＝(x＋1)2－1的图象上，∴y＝(2－x＋1)2－1＝(x－3)2－1.即x1时，f(x)的解析式为f(x)＝(x－3)2－1.答案：B5．证明：当x∈[0,1]时，22x≤sinx≤x.证明：记F(x)＝sinx－22x，则F′(x)＝cosx－22，当x∈0，π4时，F′(x)0，F(x)单调递增；当x∈π4，1时，F′(x)0，F(x)单调递减．又F(0)＝0，F(1)0，即F(x)min＝0.所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥22x.记H(x)＝sinx－x，则H′(x)＝cosx－1.当x∈[0,1]时，H′(x)≤0，H(x)单调递减．所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，22x≤sinx≤x，x∈[0,1]．