2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法 第二课时 分析法课件

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第二课时分析法梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解分析法的意义，掌握分析法的特点，会用分析法解决问题．2．了解分析法与综合法的联系．‖知识梳理‖从要证明的________________，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、_______、_______、________等)，这种证明方法叫做分析法．结论出发充分条件定理定义公理解剖难点探究提高重点难点突破分析法是由结论到条件的逆推证法，它的思维特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻求它的充分条件，也就是说，分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫逆推证法或执果索因法．综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，综合运用效果会更好．用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有所区别．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的；而在分析法中，就应当用假定的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要A成立，就需先有B成立；如果要B成立，又只需C成立，……，这样从结论一直推到它们都是同所要证明的命题等效，而并不是确信它们是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才能确信它是真的，从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真的，于是命题就被证明了．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一用分析法证明不等式已知a＞6，求证：a－3－a－4＜a－5－a－6.【思路探索】由于待证的不等式不易找出证明的出发点，故可用分析法证明．【证明】证法一：欲证a－3－a－4＜a－5－a－6，需证：a－3＋a－6＜a－4＋a－5，即证：(a－3＋a－6)2＜(a－4＋a－5)2，需证：a－3a－6＜a－4a－5，即证：(a－3)(a－6)＜(a－4)(a－5)，需证：18＜20.又18＜20显然成立，∴原不等式a－3－a－4＜a－5－a－6成立．证法二：欲证：a－3－a－4＜a－5－a－6，需证：1a－3＋a－4＜1a－5＋a－6⇐a－3＋a－4＞a－5＋a－6，∵a＞6，∴a－3＞0，a－4＞0，a－5＞0，a－6＞0，又a－3＞a－5，∴a－3＞a－5，同理：a－4＞a－6.∴a－3＋a－4＞a－5＋a－6，∴a－3－a－4＜a－5－a－6.[名师点拨]当证明的数学问题不知从何入手时，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往用分析法．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.已知f(x)＝x2＋3，若a＞b＞0，求证：fa＋fb2＞fa＋b2.证明：欲证fa＋fb2＞fa＋b2，只需证12[(a2＋3)＋(b2＋3)]＞a＋b22＋3，即证a2＋b2＞a＋b22，需证a2＋b2＞2ab，即证(a－b)2＞0.又a＞b＞0，∴(a－b)2＞0显然成立．∴原不等式fa＋fb2＞fa＋b2成立．题型二用分析法证明等式已知△ABC中角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A∶B∶C＝1∶2∶6，求证：ab＝a＋ba＋b＋c.【思路探索】因此题的条件过于简单，而结论较复杂，故用分析法证明．【证明】欲证ab＝a＋ba＋b＋c，需证a2＋ab＋ac＝ab＋b2，即证a2＋ac＝b2，需证sinA(sinA＋sinC)＝sin2B，∵A∶B∶C＝1∶2∶6，∴A＝π9，B＝2π9，C＝2π3，故即证sinπ9sinπ9＋sin2π3＝sin22π9，即证sinπ9sinπ9＋sinπ3＝sin22π9，需证sinπ9sin2π9－π9＋sin2π9＋π9＝sin22π9，即证2sinπ9sin2π9cosπ9＝sin22π9，需证2sinπ9cosπ9＝sin2π9，而2sinπ9cosπ9＝sin2π9显然成立，∴ab＝a＋ba＋b＋c成立．[名师点拨]在用分析法证明数学问题时，必要要求步步可逆.△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：ca＋b＋ab＋c＝1.证明：要证原式成立，只要证bc＋c2＋a2＋abab＋b2＋ac＋bc＝1，即证bc＋c2＋a2＋ab＝ab＋b2＋ac＋bc，即c2＋a2－b2－ac＝0，而三个内角A，B，C成等差数列，A＋C＝2B，B＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－ac，上式成立，故原式成立．题型三综合法与分析法的综合运用在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．【思路探索】前半部分从已知出发采用综合法得到a，b，c之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．【证明】由已知得2a＝x＋y，b2＝cx，c2＝by，∴x＝b2c，y＝c2b，即x＋y＝b2c＋c2b.从而2a＝b2c＋c2b.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥b＋1c＋1成立．要证a＋1≥b＋1c＋1成立，需证a＋1≥b＋1＋c＋12即可．即证2a≥b＋c.而2a＝b2c＋c2b，则只需证b2c＋c2b≥b＋c成立即可．即b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)·bc.即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0成立．上式显然成立，∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．[名师点拨]在解决问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来，先用分析法寻找解题思路，再用综合法解答或证明，注意在解题时书写格式，否则易出错.求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.证明：要证原式成立，需证sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sinβ.因为左式＝sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]－2sinαcos(α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝cosαsin(α＋β)－sinαcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ＝右式．所以原等式成立．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．已知a，b，c，d∈{正实数}，且abcd，则()A.aba＋cb＋dcdB．a＋cb＋dabcdC.abcda＋cb＋dD.以上均可能解析：要证aba＋cb＋d，∵a，b，c，d∈{正实数}，∴只需证a(b＋d)b(a＋c)，即证adbc.只需证abcd.而abcd成立，∴aba＋cb＋d.同理可证a＋cb＋dcd.答案：A2．证明不等式a＋1－a＜a－1－a－2(a≥2)所用的最适合的方法是()A．综合法B．分析法C．合情推理法D.间接证法答案：B3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：要证a2＋b2－1－a2b2≤0，需证a2b2－a2－b2＋1≥0，需证a2(b2－1)－(b2－1)≥0，需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.答案：D4．若用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a，则证明的依据应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0解析：欲证b2－ac＜3a，需证b2－ac＜3a2，即证(a＋c)2－ac＜3a2，需证(a－c)(2a＋c)＞0，即证(a－c)·(a－b)＞0.故选C.答案：C5．(2019·晋中高二期末调研)若对任意的x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：若对任意的x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，只需求y＝xx2＋3x＋1的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x0，所以y＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.答案：