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课时作业19反证法知识对点练知识点一反证法的概念1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析原结论不能作为条件使用．解析答案C答案2．有下列叙述：①“ab”的反面是“ab”；②“x＝y”的反面是“xy或xy”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B答案解析①错误，应为a≤b；②正确；③错误，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错误，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.解析知识点二反证法的步骤3.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除答案B答案解析“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．解析4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为________．答案③①②答案解析反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．故填③①②.解析知识点三用反证法证明命题5.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π答案＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∴a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.答案6．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．答案课时综合练一、选择题1．用反证法证明结论为“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的命题时，应假设()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析假设结论不成立时应考虑所有情况，故选D.解析答案D答案2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确答案D答案解析用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q＞2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．解析3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2答案C答案解析假设都大于－2，则a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＞－6，但a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．解析4．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C答案解析首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR＞0成立．其次，若PQR＞0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P＜0，Q＜0，即a＋b－c＜0，b＋c－a＜0，所以b＜0，与b＞0矛盾．故P，Q，R都大于0.解析5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案D答案解析因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，所以(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.解析二、填空题6．命题“a，b是实数，若|a＋1|＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－1”，用反证法证明该命题时应假设________．解析a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1或b≠－1.解析答案a≠－1或b≠－1答案7．下列命题适合用反证法证明的是________．①已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：1＋xy和1＋yx中至少有一个小于2；③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．答案①②③④答案解析①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.解析8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是真的，则获奖的歌手是________．答案丙答案解析假设甲获奖，则四人说的都是假话，与已知矛盾；假设乙获奖，则甲、乙、丁说的都是真话，与已知矛盾；假设丙获奖，则甲和丙说的都是真话，乙和丁说的都是假话，与已知相符；假设丁获奖，则甲、丙、丁说的都是假话，与已知矛盾；从而可得获奖的歌手是丙．解析三、解答题9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)＝0无整数根．证明假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数，或a，b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾．所以f(x)＝0无整数根．答案10．给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝x－1ax－1其中x∈R且x≠1a，证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴．证明设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)是函数图象上两个不同的点．假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1＝y2，即x1－1ax1－1＝x2－1ax2－1，整理得a(x1－x2)＝x1－x2.∵M1与M2是函数图象上两个不同的点且y1＝y2，∴x1≠x2，∴a＝1，这与已知a≠1矛盾，∴假设错误．答案故直线M1M2不平行于x轴．所以经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴．答案本课结束