2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 课时作业18 综合法

课时作业18综合法与分析法知识对点练知识点一综合法和分析法的概念1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．解析答案C答案2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法解析用综合法直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．解析答案C答案3．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．答案综合法答案解析证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系，推导出“f(x)在区间(0,1)上是增函数”的结论，故应用的证明方法是综合法.解析知识点二综合法和分析法的应用4.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.证明要证明1＋1a1＋1b≥9，只需证明1＋1a1＋11－a≥9，只需证明(a＋1)(2－a)≥9a(1－a)，即证(2a－1)2≥0，∵(2a－1)2≥0成立，∴1＋1a1＋1b≥9.答案5．求证：1log519＋2log319＋3log219＜2.证明因为1logba＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360＜log19361＝2，所以1log519＋2log319＋3log219＜2.答案6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若abcd，则a＋bc＋d；(2)a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件．解(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，abcd得(a＋b)2(c＋d)2.因此a＋bc＋d.答案(2)①若|a－b||c－d|，则(a－b)2(c－d)2，即(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以abcd.由(1)得a＋bc＋d.故a＋bc＋d是|a－b||c－d|的必要条件．②若a＋bc＋d，则(a＋b)2(c＋d)2，即a＋b＋2abc＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以abcd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因为|a－b||c－d|.故a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充分条件．综上，a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件．答案课时综合练一、选择题1．用分析法证明不等式：欲证①A＞B，只需证②C＜D，这里①是②的()A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分条件D．必要条件解析因为②⇒①，但①不一定推出②，故选D.解析答案D答案2．A，B为△ABC的内角，“A＞B”是“sinA＞sinB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C答案解析由正弦定理asinA＝bsinB＝2R，又A，B为三角形的内角，∴sinA＞0，sinB＞0，∴sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B.解析3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤a2＋b22B.a2＋b22＜ab＜1C.a2＋b22＜ab＜1D．ab＜1＜a2＋b22解析取a＝12，b＝32，则a＋b＝2，这时a2＋b22＝14＋942＝54＞1.ab＝12×32＝34＜1.∴ab＜1＜a2＋b22.解析答案D答案4．设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为()A．－1B.12C.3D．3答案D答案解析由已知条件，得sinα＝sinθ＋cosθ2，sin2β＝sinθcosθ.消去θ，得4sin2α＝1＋2sin2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos22β－1－4(2cos22α－1)＝2cos22β－8cos22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos22α＋3＝3，故选D.解析5．已知a，b，c，d为正实数，且abcd，则()A.aba＋cb＋dcdB.a＋cb＋dabcdC.abcda＋cb＋dD．以上均可能答案A答案解析先取特值检验，∵abcd，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则a＋cb＋d＝25，满足aba＋cb＋dcd.∴B，C不正确．要证aba＋cb＋d，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)b(a＋c)，即证adbc.只需证abcd.而abcd成立，∴aba＋cb＋d.同理可证a＋cb＋dcd.故A正确．解析二、填空题6．凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有fx1＋fx2＋…＋fxnn≤fx1＋x2＋…＋xnn.已知函数f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．答案332答案解析∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，∴fA＋fB＋fC3≤fA＋B＋C3＝fπ3，即sinA＋sinB＋sinC≤3sinπ3＝332，∴sinA＋sinB＋sinC的最大值为332.解析7．如果aa＋bb＞ab＋ba，则正数a，b应满足的条件是________．解析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有aa＋bb＞ab＋ba.解析答案a≠b答案8．已知函数y＝x＋2ax在[3，＋∞]上是增函数，则a的取值范围是________．答案－∞，92答案解析若y＝x＋2ax在[3，＋∞)上是增函数，则y′＝1－2ax2在[3，＋∞)上大于等于0恒成立，只需x∈[3，＋∞)时2ax2≤1恒成立，即2a≤x2，只需2a≤(x2)min＝9，所以a≤92.解析三、解答题9．证明函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)是奇函数．证明∵x2＋1＞|x|，∴x2＋1＋x＞0恒成立，∴f(x)＝log2(x2＋1＋x)的定义域为R，∴要证函数y＝log2(x2＋1＋x)是奇函数，只需证f(－x)＝－f(x)，只需证log2(x2＋1－x)＋log2(x2＋1＋x)＝0，答案只需证log2[(x2＋1－x)(x2＋1＋x)]＝0，∵(x2＋1－x)(x2＋1＋x)＝x2＋1－x2＝1，而log21＝0，∴上式成立，故函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)是奇函数．答案10．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.解(1)f′(x)＝1＋2ax＋bx.由已知条件得f1＝0，f′1＝2，即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2，解得a＝－1，b＝3.答案(2)证明：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－12x＋3x，当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g(1)＝0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.答案本课结束