2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 1.5 定积分的概念 课时作业11 曲边梯形的面

课时作业11曲边梯形的面积、汽车行驶的路程知识对点练知识点一曲边梯形的面积1.把区间[a，b](ab)n等分之后，第i个小区间是()A．i－1n，inB．i－1nb－a，inb－aC．a＋i－1n，a＋inD．a＋i－1nb－a，a＋inb－a答案D答案解析区间[a，b](ab)的长度为(b－a)，n等分之后，每个小区间长度均为b－an，第i个小区间是a＋i－1nb－a，a＋inb－a(i＝1,2，…，n)．解析2．求由抛物线f(x)＝x3，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．解析由题意得S＝(0.13＋0.33＋0.53＋0.73＋0.93)×0.2＝0.245.解析答案0.245答案知识点二汽车行驶的路程3.物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算时间在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则路程近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为________km.解析以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得路程近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．解析答案66答案4．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．解(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为i－1nt，itn(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝itn－i－1nt＝tn，在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．答案(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在i－1nt，itn上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g·i－1nt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝tn内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·i－1nt·tn(i＝1,2，…，n)．答案(3)求和：sn＝∑ni＝1Δsi＝∑ni＝1g·i－1nt·tn＝gt2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝12gt21－1n.(4)取极限：s＝limn→∞12gt21－1n＝12gt2.即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为12gt2.答案知识点三近似代替思想的应用5.当n很大时，可以代替函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上的值的有________个．①f1n；②fin；③fi－1n；④fin－12n.答案3答案解析因为当n很大时，区间i－1n，in上的任意取值的函数值都可以代替，又因为1n∉i－1n，in，i－1n∈i－1n，in，in∈i－1n，in，in－12n∈i－1n，in，故能代替的有②③④.解析课时综合练一、选择题1．求由抛物线y＝2x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为()A．i－1n，inB．in，i＋1nC．2i－2n，2i－1nD．2i－1n，2in答案D答案解析把区间[0,2]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为2n，故第i个区间为2i－1n，2in.解析2．图中阴影部分是由曲线f(x)＝x3，直线x＝1以及x轴所围成的曲边梯形，将区间10等分，并用每个区间的左端点的函数值近似代替，试估计该曲边梯形的面积()A．0.3025B．0.2025C．0.5050D．0.1答案B答案解析首先，将区间[0,1]10等分．则曲边梯形面积的不足估计值为S1＝f0＋f110＋f210＋f310＋f410＋f510＋f610＋f710＋f810＋f910×110＝0.2025.解析3．求由y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积时，将区间100等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则曲边梯形面积为(保留四位小数)()A．0.3180B．0.3283C．0.3384D．0.3484解析将区间[0,1]100等分，则曲边梯形面积的过剩估计值S1＝11002＋21002＋…＋991002＋12×1100＝12＋22＋…＋9921003＋1100＝0.33835.解析答案C答案4．在求由曲线y＝1x与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于()A．2n＋2iB．2n＋2i－2C．2nn＋2iD．1n＋2i答案A答案解析每个小区间长度为2n，第i个小区间为n＋2i－1n，n＋2in，因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈1n＋2in·2n＝2n＋2i.解析5．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A．limn→∞∑ni＝111＋in2·2nB．limn→∞∑ni＝111＋2in2·2nC．limn→∞∑ni＝111＋i2·1nD．limn→∞∑ni＝111＋in2·n答案B答案解析若将区间[0,2]n等分，则每一区间的长度为2n，第i个区间为2i－1n，2in，若取每一区间的右端点进行近似代替，则和式极限形式为limn→∞∑ni＝111＋2in2·2n.解析二、填空题6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.解析答案55答案7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为__________、__________.解析分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.解析答案3.925.52答案8．若做变速直线运动的物体V(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．答案3答案解析将区间[0，a]n等分，记第i个区间为ai－1n，ain(i＝1,2，…，n)，此区间长为an，用小矩形面积ain2·an近似代替相应的小曲边梯形的面积，则i＝1nain2·an＝a3n3·(12＋22＋…＋n2)＝a331＋1n·1＋12n近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得limn→∞a331＋1n1＋12n＝9，∴a33＝9，解得a＝3.解析三、解答题9．汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)．第i个时间区间的路程的近似值为Δξi≈Δξi′＝v(t)·1n＝v1＋i－1n·1n＝3n＋2i－1n2＋i－12n3，答案于是sn＝∑ni＝1Δξi′＝∑ni＝13n＋2i－1n2＋i－12n3＝n·3n＋2n2·[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋1n3·[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＝3＋2n2·n－1n2＋1n3·n－1n2n－16＝3＋1－1n＋131－1n1－12n.所以s＝limn→∞sn＝limn→∞[3＋(1－1n)＋13(1－1n)(1－12n)]＝133.故这段时间行驶的路程为133km.解析10．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．解(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1]等分成n个小区间：0，1n，1n，2n，…，n－1n，1，记第i个区间为i－1n，in(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝in－i－1n＝1n.把每个小曲边梯形的面积记为ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.答案(2)近似代替根据题意可得第i个小曲边梯形的面积ΔSi＝fi－1n·Δx＝i－1n·i－1n－1·1n＝i－1n2·1－i－1n(i＝1,2，…，n)．答案(3)求和把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n个小矩形的面积的和Sn＝i＝1nfi－1n·Δx＝i＝1ni－1n2·1－i－1n＝161－1n2，从而得到所求图形面积的近似值S≈161－1n2.(4)取极限S＝limn→∞161－1n2＝16，即直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为16.答案本课结束