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第二章统计2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关学习目标核心素养1.了解变量间的相关关系，会画散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点)2．了解线性回归思想，会求回归直线方程．(难点)1.通过对数据的分析、统计，培养数据分析素养．2．借助变量间相关关系的研究，提升数学运算素养.自主预习探新知1．变量间的相关关系(1)相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有______的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为________和________．随机性函数关系相关关系(2)散点图将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．(3)正相关与负相关①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为______．②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为______．正相关负相关2．回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在________附近，就称这两个变量之间具有________关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：________对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．一条直线线性相关回归直线(3)最小二乘法：求线性回归方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到回归直线的____________最小的方法叫做最小二乘法．其中，b^是线性回归方程的____，a^是线性回归方程在y轴上的____．距离的平方和斜率截距1．下列两个变量具有相关关系的是()A．角度和它的余弦值B．圆的半径和该圆的面积C．正n边形的边数和它的内角和D．居民的收入与存款D[A、B、C中两变量是确定的函数关系．]2.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A．y^＝1.5x＋2B．y^＝－1.5x＋2C．y^＝1.5x－2D．y^＝－1.5x－2B[由散点图知，变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，故只有B选项符合．]3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：学科ABCDE数学8075706560物理7066686462则数学成绩与物理成绩之间()A．是函数关系B．是相关关系，但相关性很弱C．具有较好的相关关系，且是正相关D．具有较好的相关关系，且是负相关C[数学成绩x和物理成绩y的散点图如图所示．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．]4．设有一个回归方程为y^＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位时，y平均减少________个单位．1.5[因为y^＝2－1.5x，所以变量x每增加1个单位时，y1－y2＝[2－1.5(x＋1)]－(2－1.5x)＝－1.5，所以y平均减少1.5个单位．]合作探究提素养相关关系及判断【例1】某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．年龄x(岁)123456身高y(cm)788798108115120(1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系．[解](1)散点图如图所示．(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．相关关系的判断方法(1)两个变量x和y具有相关关系的判断方法①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；③经验法：借助积累的经验进行分析判断．(2)判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．1．下列关系中，属于相关关系的是________(填序号)．①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．②④[在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]求回归方程[探究问题]1．任意两个统计数据是否均可以作出散点图？[提示]任意两个统计数据均可以作出散点图．2．任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？[提示]用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否则求回归方程是无意义的．3．回归系数b^的含义是什么？[提示](1)b^代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当b^0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均增加b^个单位数；当b^0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均减少b^个单位数．【例2】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．思路点拨：画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程．[解](1)画散点图如下：由上图可知y与x具有线性相关关系．(2)列表、计算：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200a^＝y－b^x＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y^＝0.668x＋54.96.(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)．(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．(3)把数据制成表格xi，yi，x2i，xiyi.(4)(5)代入公式计算b^，a^，公式为(6)写出回归直线方程y^＝b^x＋a^.2.某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程.[解]（1）散点图如图所示.（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x2i416253664x＝5，y＝50，∑5i＝1x2i＝145，∑5i＝1iiyi＝1380于是可得，b^＝＝＝6.5，a^＝y－b^x＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归方程是y^＝6.5x＋17.5.回归方程的应用【例3】某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：学生ABCDE总成绩x428383421364362数学成绩y7865716461(1)画出散点图；(2)求y对x的线性回归方程(结果保留到小数点后3位数字)；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩．[解](1)散点图如图所示：(2)由题中数据计算可得x＝391.6，y＝67.8，∑5i＝1x2i＝770654，∑5i＝1xiyi＝133548.代入公式得b^＝133548－5×391.6×67.8770654－5×391.62≈0.204，a^＝67.8－0.204×391.6≈－12.086，所以y对x的线性回归方程为y^＝－12.086＋0.204x.(3)由(2)得当总成绩为450分时，y^＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学生的数学成绩大约为80分．利用线性回归方程解题的常见思路及注意点(1)利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据．(2)利用回归方程中系数b^的意义，分析实际问题．(3)利用回归直线进行预测，此时需关注两点；①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x与y成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否则即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的．3．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得∑10i＝1xi＝80，∑10i＝1yi＝20，∑10i＝1xiyi＝184，∑10i＝1x2i＝720.(1)求月储蓄y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程；(2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．[解](1)由题意知n＝10，x＝1n∑10i＝1xi＝110×80＝8，y＝1n∑ni＝1yi＝110×20＝2，又∑ni＝1x2i－nx2＝720－10×82＝80，∑10i＝1xiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝2480＝0.3，a^＝y－b^y＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y^＝0.3x－0.4.(2)将x＝7代入线性回归方程，可以得到该家庭的月储蓄约为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a^，b^的值时，要先算出b^，然后才能算出a^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y^＝b^x＋a^，则x＝x0处的估计值为y^0＝b^x0＋a^.当堂达标固双基1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系．()(2)回归直线方程一定过样本中心点．()(3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同．()[答案](1)×(2)√(3)×2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y^＝a^＋b^x中，回归系数b^()A．不能小于0B．不能大于0C．不能等于0D．只能小于0C[当b^＝0时，不具有相关关系，b^可以大于0，也可以小于0.]3．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为y^＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．650[当x＝80时，y^＝400＋250＝650.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3如果已知y与x是线性相关的，求回归方程．(参考数据：∑10i＝1xiyi＝117.7，∑10i＝1x2i＝406）[解]依题意可计算得：x＝6，y＝1.83，x2＝36，xy＝10.98，又∵∑10i＝1xiyi＝117.7，∑10i＝1x2i＝406，∴b^＝≈0.17，a^＝y－b^x＝0.81，∴y^＝0.17x＋0.81.∴所求的回归方程为y^＝0.17x＋0.81.