2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布章末复习方案课件 新人教A版选修2-3

返回目录随机变量及其分布第二章返回目录章末复习方案返回目录章末·核心归纳章末·考法整合返回目录章末·核心归纳考点分布命题趋势1.理解离散型随机变量及其分布列，理解超几何分布及其推导过程，能进行简单的应用【内容特点】(1)离散型随机变量的分布列的概率与性质．(2)离散型随机变量的均值与方差的有关计算．(3)二项分布、正态分布在实际生活中的应用．【题型形式】主要以解答题的形式出现，有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中等.2.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算离散型随机变量的均值、方差，并能运用均值、方差解决一些实际问题3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验4.理解二项分布模型，并能解决一些简单的应用问题5.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特点及表示的意义返回目录章末·考法整合1．求离散型随机变量分布列常见的三种类型(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列．(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量的分布列．考法一求离散型随机变量的分布列返回目录2．一般步骤不论是哪种类型的分布列求解，其一般步骤如下：第一步，确定X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…)，并明确每个取值代表的意义；第二步，求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…)；第三步，写出分布列或列出分布列；第四步，根据分布列的性质对结果进行检验．返回目录【真题1】(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1次红灯的概率．返回目录解析(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124，返回目录P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝124.返回目录综上知，X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.返回目录(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的次数，Z表示第二辆车遇到红灯的次数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1次红灯的概率为1148.返回目录1．随机变量是否服从超几何分布的判断(1)若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：第一，该试验是不放回地抽取n次；第二，随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．考法二超几何分布的求解返回目录(2)一般地，设有N件产品，其中次品和正品的件数分别为M1，M2(M1，M2≤N)，从中任取n(n≤N)件产品，用X，Y分别表示取出的n件产品中次品和正品的件数，则随机变量X服从参数为N，M1，n的超几何分布，随机变量Y服从参数为N，M2，n的超几何分布．返回目录2．求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取第一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．返回目录【真题2】(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．返回目录①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．解析(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人．返回目录(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0,1,2,3)．所以随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.X0123P13512351835435返回目录②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝67.所以事件A发生的概率为67.返回目录数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，是离散型随机变量的取值与相应概率分别相乘后相加；E(aX＋b)＝aE(X)＋b说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的数学期望等于随机变量X数学期望的线性函数．考法三离散型随机变量的数学期望与方差的计算返回目录1．数学期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．(2)求X取各个值的概率，写出分布列．(3)根据分布列，由数学期望的定义求出E(X)，进一步由公式D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi＝E(X2)－(E(X))2求出D(X)．返回目录2．求数学期望与方差的常见类型及解题策略(1)以事件的发生为背景，求随机变量的数学期望与方差①理解随机变量的实际意义，并据此找出随机变量X所有可能的取值；返回目录②把随机变量的取值所对应的事件，拆分成若干个简单的、互斥的基本事件之和或独立事件之积，然后再根据概率计算公式分别求出随机变量X取每个值时的概率；③列出分布列，根据数学期望及方差的计算公式求出数学期望与方差．返回目录(2)以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景，求随机变量的数学期望与方差①先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；②根据特殊分布的概率公式列出分布列；③可以根据分布列与数学期望和方差的计算公式计算出数学期望和方差，也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布列的数学期望与方差公式来计算．返回目录【真题3】(2018·浙江卷)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时，()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小ξ012P1－p212p2返回目录答案D解析由题意知E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝p＋12.D(ξ)＝0－p＋122×1－p2＋1－p＋122×12＋2－p＋122×p2＝p＋122×1－p2＋p－122×12＋32－p2×p2返回目录＝12p＋122＋12p－122－p2·p＋122＋p232－p2＝122p2＋12－p2·p＋122－p－322＝p2＋14－p(2p－1)＝－p2＋p＋14＝－p－122＋12.所以D(ξ)在0，12上递增，在12，1上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．返回目录利用随机变量的数学期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量ξ的数学期望的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．考法四数学期望与方差的应用返回目录【真题4】(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．返回目录(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．返回目录①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？返回目录解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.返回目录(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于EX＞400，故应该对余下的产品作检验．返回目录计算条件概率时，可按以下步骤进行：第一步，若题目中出现“在……前提下”等字眼，可以判断为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现会影响所求事件的概率时，也需注意是条件概率；第二步，计算概率，这里有两种思路．思路一：缩减样本空间法计算条件概率．考法五求条件概率返回目录如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝nABnB计算．思路二：直接利用条件概率公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝PABPB计算．返回目录说明：为了求复杂事件的条件概率，往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和，利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)进行计算，其中B，C互斥．返回目录【真题5】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45返回目录答案A解析设“某天的空气质量为优良”为事件A，“后一天空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，所以P(B|A)＝PABPA＝0.60.75＝0.8.返回目录1．求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个相互独立的事件之积或彼此互斥的事件之和；第二步，求出这些相互独立或彼此互斥的事件的概率；第三步，根据积事件或和事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率．考法六求相互独立事件的概率返回目录2．几种相互独立事件发生的概率求法事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B都不发生P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(