2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布本章整合提升课件 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布本章整合提升知识网络随机变量离散型随机变量两点分布二项分布条件概率事件独立性超几何分布分布列均值方差正态分布正态分布密度曲线3σ原则要点归纳在事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A)＝PABPA，求概率时可借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求在事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．【解】解法一：由题意得P(A)＝34，P(AB)＝3×24×3＝12.∴P(B|A)＝PABPA＝1234＝23.解法二：设这4件产品分别为1,2,3,4，其中1,2,3为一等品，4为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号，第j号产品，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)}．AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}．P(B|A)＝nABnA＝69＝23.若A，B为相互独立的事件，则A与B，A与B，A与B分别相互独立，则有P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；若A1，A2，A3，…，An相互独立，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．独立重复试验是相互独立事件的特例．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮结果互不影响．求：(1)乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．【解】设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“乙获胜\”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1B1)＋P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)＝23×12＋232122＋233123＝1327.(2)记“'投篮结束时乙只投了2个球\”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝232122＋232122×13＝427.(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解】(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.离散型随机变量的分布列、均值与方差是三个紧密相连的有机统一体，一般在试题中综合在一起进行考查，其解题的关键是求出分布列．求出分布列后，只需套用公式即可求出均值与方差，注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道，一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布列及E(ξ)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解】(1)依题意，ξ的可能取值为1,0，－1，ξ的分布列为ξ10－1P121414E(ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为η2－2PαβE(η)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥14，∴916≤α≤1.抛掷两枚骰子，当至少有一个1点或一个2点出现时，就说这次试验成功，否则称这次试验失败，求在20次试验中成功次数X的均值和方差．【解】在一次试验中成功的次数只有两种可能值0或1.当掷出的两枚骰子都不出现1点和2点时，由等可能事件的概率公式可得P＝1636＝49，因此至少出现一个1点或一个2点的概率为1－49＝59.在20次试验中成功次数X服从二项分布，即X～B20，59，于是E(X)＝20×59＝1009，D(X)＝20×59×49＝40081.对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求了解正态分布中的最基础的知识．正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为3σ原则．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？【解】(1)设参赛学生的成绩为X.因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50X90)]＝12[1－P(μ－2σXμ＋2σ)]＝12×(1－0.9545)＝0.02275，则此次参赛学生的总人数约为12÷0.02275≈527.(2)易得P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60X80)]＝12[1－P(μ－σXμ＋σ)]＝12×(1－0.6827)＝0.15865，得527×0.15865≈84，即此次竞赛成绩为优的学生约为84人．