2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 4 正态分布课件 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布2．4正态分布梳理知识夯实基础自主学习导航1．了解正态曲线和正态分布的概念、特点及曲线所表示的意义．2．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率．‖知识梳理‖1．函数φμ，σ(x)＝12πσe，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ(σ0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称__________．一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφμ，σ(x)dx，称X服从__________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．正态曲线正态分布2.曲线特点概率体现曲线在x轴上方__________曲线关于直线x＝μ对称①P(Xμ)＝P(Xμ)＝__，②P(μ－εXμ)＝____________(其中ε0)P(X)0PμXμ＋ε12曲线在x＝μ处达到峰值12πσ0P(X)≤_________曲线与x轴围成的面积为1P(－∞X＋∞)＝__________12πσ1解剖难点探究提高重点难点突破正态分布是概率统计中最重要的一种分布，它由参数μ，σ唯一确定，常记作N(μ，σ2)，其中μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计，σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．参数μ，σ可由正态曲线的对称性求得：正态曲线关于x＝μ对称，当x＝μ时达到峰值12πσ.理论上可以证明，正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的取值的概率分别为0.6827,0.9545,0.9973，由于正态分布在(－∞，＋∞)内取值的概率为1，可以推出它在区间(μ－2σ，μ＋2σ]之外的取值的概率为0.0455，在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的取值的概率为0.0027，于是正态变量的取值几乎都在x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一正态曲线及性质(1)设一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)＝122πe－x－328，则这个正态总体的均值与标准差为()A．3与2B．3与4C．8与3D．2与3(2)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ3【思路探索】利用正态曲线的性质解题．【解析】(1)由正态曲线方程为φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2＝122πe－x－328，可知，σ＝2，μ＝3，故选A.(2)μ1，μ2为变量的平均水平特征，从图象上可知，N(μ1，σ21)的对称轴靠左，∴μ1μ2，N(μ1，σ21)的图象瘦高，∴σ1σ2，故选A.【答案】(1)A(2)A[名师点拨]正态变量的概率密度函数，其中μ为均值，σ2为方差，曲线关于x＝μ对称，且当x＝μ时，曲线处于最高点，由这一点向左、右两边延伸且曲线逐渐降低．若σ越大，曲线就越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”.如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφ(x)dx，其中，若P(X1)＝0.16，那么()A．0.84B．0.68C．0.5D．0.34解析：∵，∴μ＝0，σ＝1，∵P(X1)＝0.16，∴＝P(0x≤1)＝P(X0)－P(X1)＝0.5－0.16＝0.34，故选D.答案：D题型二正态分布下的概率计算设ξ～N(2,1)，试求：(1)P(1ξ≤3)；(2)P(3ξ≤4)；(3)P(ξ≤0)．【思路探索】首先可确定σ，μ，由正态曲线的3σ原则求解．【解】∵ξ～N(2,1)，∴μ＝2，σ＝1.(1)P(1ξ≤3)＝P(2－1ξ≤2＋1)＝P(μ－σξ≤μ＋σ)＝0.6827.(2)∵P(3ξ≤4)＝P(0ξ≤1)＝P0ξ≤4－P1ξ≤32＝12[P(μ－2σξμ＋2σ)－P(μ－σξμ＋σ)]＝12(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(ξ≤0)＝P(ξ＞4)，∴P(ξ≤0)＝12[1－P(0ξ≤4)]＝12(1－0.9545)＝0.02275.[名师点拨]解决此类问题的关键是要灵活把握3σ原则，即将问题转化为P(μ－σξ≤μ＋σ)，P(μ－2σξ≤μ＋2σ)，P(μ－3σξ≤μ＋3σ)，再利用特定值求出相应的概率．同时，要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，已知P(X≤－1.96)＝0.025，则P(|X|1.96)＝_______________________________________________.解析：因为随机变量X服从正态分布N(0,1)，所以正态曲线的对称轴为直线x＝0.由于P(X≤－1.96)＝0.025，所以P(|X|1.96)＝P(－1.96X1.96)＝1－0.025×2＝0.95.答案：0.95题型三正态分布的应用已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88mm(不包括72mm，包括88mm)间的零件大约占总数的百分之几．【思路探索】解决本题关键是根据题意，正态分布关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值求出μ，然后由f(80)＝182π求出σ，进而求出正态分布的概率密度函数的解析式．再根据3σ原则求解问题第二问．【解】(1)∵正态分布曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．∴正态分布关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，∴μ＝80.又12πσ＝182π，∴σ＝8.故正态分布的概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝182πe－x－802128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X位于区间(72,88]内的概率为0.6827.故尺寸在72～88mm(不包括72mm，包括88mm)间的零件大约占总数的68.27%.[名师点拨]在实际应用中，若随机变量服从正态分布N(μ，σ2)，利用3σ原则可求出相应的概率.在实际应用中，若随机变量服从正态分布N(μ，σ2)，利用3σ原则可求出相应的概率.(2019·武昌区高三调研)某公司开发了—种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85cm和155cm之间，得到如下频数分布表：分组[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)[125，135)[135，145)[145，155]频数2922332482已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(1)求P(132.2l144.4)；(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l115时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考数据：150≈12.2.若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σX≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σX≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)抽取产品质量指标值的样本平均数x－＝90×0.02＋100×0.09＋110×0.22＋120×0.33＋130×0.24＋140×0.08＋150×0.02＝120，抽取产品质量指标值的方差s2＝900×0.02＋400×0.09＋100×0.22＋0×0.33＋100×0.24＋400×0.08＋900×0.02＝150.所以l～N(120,150)，又σ＝150≈12.2，所以P(μl≤μ＋σ)＝P(120l≤132.2)≈12×0.6827≈0.3414，P(μl≤μ＋2σ)＝P(120l≤144.4)≈12×0.9545≈0.4773，所以P(132.2l144.4)＝P(120l≤144.4)－P(120l≤132.2)＝0.1359.(2)由频数分布表得，P(l115)＝0.02＋0.09＋0.22＝0.33，P(l≥115)＝1－0.33＝0.67.随机变量ξ的取值为90，－30，且P(ξ＝90)＝0.67，P(ξ＝－30)＝0.33.则随机变量ξ的分布列为ξ90－30P0.670.33所以E(ξ)＝90×0.67－30×0.33＝50.4.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝12π×2e－x－1022×22(x∈R)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：因为f(x)＝12π×2e－x－1022×22，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故选B.答案：B2．设随机变量X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(0≤X≤2)的值是()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6解析：正态曲线关于直线x＝0对称，∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(0≤X≤2)＝0.4.答案：B3．(2019·福州高二统考)设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)(σ0)，若P(ξ0)＋P(ξ≤1)＝1，则μ的值为()A．－1B．1C．－12D.12解析：因为P(ξ0)＋P(ξ≤1)＝1，所以P(ξ0)＋1－P(ξ1)＝1，即P(ξ0)＝P(ξ1)，所以μ＝12.答案：D4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ0)＝P(ξa－2)，则a＝()A．－2B．2C．4D．6解析：由正态分布的性质可得a－2＝4，从而a＝6，故选D.答案：D5．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)＝()A．0B．1C．2D．4解析：∵ξ～N(3,22)，∴D(ξ)＝4，又ξ＝2η＋3，∴D(ξ)＝4D(η)，∴D(η)＝1，故选B.答案：B