2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人

第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2.掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1.通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．2.应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.自主预习探新知1．离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的__________．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且____________＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝__________.平均水平P(Y＝axi＋b)aE(X)＋b2．两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝__；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝___.pnp思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．C[E(X)＝i＝13xipi＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16.]1．若随机变量X的分布列为X－101p121613则E(X)＝()A．0B．－1C．－16D．－1235[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.43[E(X)＝np＝4×13＝43.]3．若随机变量X服从二项分布B4，13，则E(X)的值为________．合作探究提素养求离散型随机变量的均值【例1】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．[解]X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求离散型随机变量X的均值的步骤1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值．2．求出X取每个值的概率．3．写出X的分布列(有时也可省略)．4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．[解]X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X123P35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.离散型随机变量的均值公式及性质【例2】已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．[解](1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1，解得m＝16.(2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：(公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－1730－3＝－6215.法二：(直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P14131516120所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．2．已知随机变量X的分布列为X123P121316且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．－3[E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝53a＋3＝－2.解得a＝－3.]两点分布与二项分布的均值【例3】某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．[思路点拨](1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．[解](1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的均值．[解]E(ξ)＝10×0.6＝6.2．(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值．[解]设投篮得分为变量η，则η＝3Y.所以E(η)＝E(3Y)＝3E(Y)＝3×3＝9.1．常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．离散型随机变量均值的实际应用[探究问题]1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示]每次平均得分为810＝0.8.2．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？[提示]在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[思路点拨]根据利润的意义写出X的取值→写出X的分布列→求出均值EX→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．3．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解](1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1115.所以这两人的累计得分X≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知得X1～B2，23，X2～B2，25，所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45.所以E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)－3E(X2)＝125.因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．()(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.()(4)随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋…＋xnn.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×B[由0.2＋0.5＋m＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，故选B.]2．已知随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的均值是()A．2B．2.1C．2.3D．随m的变化而变化103[E(X)＝100×12＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.]3．已知X～B100，12，则E(2X＋3)＝________.4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取