2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.3 独立重复试验与二项分布课件 新人教

第二章随机变量及其分布2．2二项分布及其应用2．2.3独立重复试验与二项分布梳理知识夯实基础自主学习导航1．理解n次独立重复试验的模型及意义．2．理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．3．掌握独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法．‖知识梳理‖1．一般地，__________________________________称为n次独立重复试验．在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，即_______________________________________成立，其中Ai(i＝1,2,3，…，n)是第i次试验结果．在相同条件下重复做的n次试验P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)2．一般地，在进行n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P，则P(X＝k)＝________________(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从__________，记作X～B(n，p)，并称p为__________．Cknpk(1－p)n－k二项分布成功概率解剖难点探究提高重点难点突破n次独立重复试验有如下特征：(1)每次试验的条件完全都相同，有关事件的概率保持不变；(2)每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；(3)每次试验中有两种结果，这两种可能的结果是对立的．在运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，再求解．注意：(1)对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验\”时才能运用，否则不能应用该公式；(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一独立重复试验概率的求法某同学练习投篮，已知他每次投篮的命中率为45.(1)求该同学投篮3次，投中两次的概率；(2)求该同学第三次投篮后，为首次投中的概率．【思路探索】此问题属于独立重复试验．对于(1)投篮3次，命中两次，利用二项分布求解；对于(2)表示第一次、第二次未投中，第三次投中．【解】(1)设该同学投篮一次命中为事件A，则P(A)＝45，3次投篮相当于独立重复试验3次，2次成功的概率P＝C230.82(1－0.8)＝3×452×15＝48125.(2)该同学3次投篮后，首次投中，即前两次未中，第三次投中，其概率P＝1－452×45＝4125.[名师点拨]独立重复试验必须满足两个特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．独立重复试验实际上是有放回地抽样检验问题.如图，已知A处有一质点，按下述规律移动：质点每次移动一格，移动的方向为向上或向右，且向上、向右的概率均为12，则质点移动5次后位于B处的概率为()A．125B．C25125C．C35123D．C25C35125解析：根据题意，易得位于A处的质点移动5次后位于B处，在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，则其概率为P＝C25122123＝C25125.故选B.答案：B题型二二项分布概率的求法若随机变量ξ～B6，12，则P(ξ≤3)＝()A.1132B.732C.2132D.764【思路探索】由于ξ～B6，12，ξ≤3包括ξ＝0，ξ＝1，ξ＝2，ξ＝3四种情况．【解析】解法一：∵ξ～B6，12，∴P(ξ＝k)＝Ck6·12k·1－126－k＝Ck6·126.∴P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝(C06＋C16＋C26＋C36)·126＝2132.故选C.解法二：∵ξ～B6，12，∴P(ξ＝k)＝Ck612k·1－126－k＝Ck6·126.∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ≥4)＝1－C46·126＋C56·126＋C66·126＝2132.故选C.【答案】C[名师点拨]若随机变量ξ服从二项分布，ξ～B(n，p)，则P(ξ＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为()A.3281B.1127C.6581D.1681解析：∵P(ξ≥1)＝59，∴P(ξ＝0)＝49，∴(1－p)2＝49，解得p＝13，∵随机变量η～B4，13，P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C041－134－C1413×1－133＝1127，故选B.答案：B题型三独立重复试验与二项分布的应用甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3\”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分\”这一事件，求P(AB)．【思路探索】由于甲队每人答对的概率均为23，每人答一题，相当于进行3次独立重复试验，故得分ξ服从二项分布，对于(2)，甲、乙两队总得分之和为3，且甲队得分比乙队得分高，包括两种情形：甲队得分2分，乙队得分1分；甲队得分3分，乙队得分0分，只需分情况讨论即可．【解】(1)由题意得，ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ～B3，23，∴ξ的分布列为ξ0123P1272949827(2)用C表示“甲得2分，乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分，乙得0分”这一事件，显然AB＝C∪D，C，D互斥．又P(C)＝C23·232×1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034，P(D)＝C33233×1－23×1－23×1－12＝435，∴P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1034＋435＝34243.[名师点拨]利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验.某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第1,2,3部分的面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第1部分至少被击中1次或第2部分被击中2次”，求P(A)．解：(1)依题意，知X～B4，13，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C041301－134＝1681，P(X＝1)＝C141311－133＝3281，P(X＝2)＝C241321－132＝2481＝827，P(X＝3)＝C341331－131＝881，P(X＝4)＝C441341－130＝181，所以X的分布列为X01234P16813281827881181(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2,3，Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2,3.依题意，知P(A1)＝P(B1)＝110，P(A2)＝P(B2)＝310，A＝A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2，故所求的概率为P(A)＝P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)·P(B2)＝110×1－110＋1－110×110＋110×110＋310×310＝725.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．某人打靶时，每次中靶的概率为0.8，那么该人连续射击10次中靶8次的概率为()A．0.88B．0.880.22C．C8100.88D．C8100.880.22答案：D2．现有10张分别标有－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4的卡片，它们的大小和颜色完全相同，从中随机抽取1张，记下数后放回，连续抽取3次，则记下的数中有正有负且没有0的概率为()A.712B.2750C.2150D.925解析：由题意知每次抽到标有正数的卡片的概率为25，抽到标有负数的卡片的概率为12，抽到标有0的卡片的概率为110，又记下的数中有正有负且没有0的情况有两种：2正1负，1正2负，则所求的概率为P＝C23×12×252＋C13×122×25＝2750.答案：B3．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中A出现k次的概率为pk，则()A．p1＋p2＋…pn＝1B．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1C．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝0D．p1＋p2＋…＋pn－1＝1答案：B4．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________.解析：P(X≥1)＝C12p(1－p)＋C22p2＝59，∴p＝13或p＝53(舍)，∴P(Y≥1)＝1－C03233＝1927.答案：19275．设随机变量ξ服从二项分布B5，12，则函数f(x)＝x2＋4x＋ξ存在零点的概率是________．解析：由函数f(x)＝x2＋4x＋ξ存在零点，得方程x2＋4x＋ξ＝0的判别式Δ＝16－4ξ≥0，即ξ≤4.又变量ξ服从二项分布B5，12，所以函数f(x)＝x2＋4x＋ξ存在零点的概率为P＝1－P(ξ＝5)＝1－C55125＝1－132＝3132.答案：3132