2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.2.1 条件概率课件 新人教A版选修2

第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率学习目标核心素养1.了解条件概率的概念．2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养．2.借助条件概率公式解题提升数学运算素养.自主预习探新知1．条件概率的概念一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝_______为在________发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．事件APABPA2．条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________________．P(B|A)＋P(C|A)B[由公式得P(B|A)＝PABPA＝3534＝45.]1．若P(AB)＝35，P(A)＝34，则P(B|A)＝()A.54B.45C.35D.342．下面几种概率是条件概率的是()A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率B[由条件概率的定义知B为条件概率．]C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率0.5[根据条件概率公式知P＝0.40.8＝0.5.]3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．合作探究提素养利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝PABPA＝11025＝14.1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝PABPA.2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．1.如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”，则P(A)＝________，P(B|A)＝________.2π14[因为圆的半径为1，所以圆的面积S＝πr2＝π，正方形EFGH的面积为2r22＝2，所以P(A)＝2π.P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形EFGH中，则豆子落在扇形HOE(阴影部分)”的概率，所以P(B|A)＝14.]缩小基本事件范围求条件概率【例2】集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[解]将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝915＝35.1．(变结论)在本例条件不变的前提下，求乙抽到偶数的概率．[解]在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝915＝35.2．(变条件)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．[解]甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝212＝16.利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝nABnA，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．求互斥事件的条件概率[探究问题]先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示]设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C，则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.【例3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．[解]法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.所以P(B|A)＝PABPA＝145÷110＝29，P(C|A)＝PACPA＝130÷110＝13.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.所以所求的条件概率为59.法二：(直接法)因为n(A)＝1×C19＝9，n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，所以P(B∪C|A)＝59.所以所求的条件概率为59.1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解]设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620＝12180C620，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PAPD＋PBPD＝210C62012180C620＋2520C62012180C620＝1358，即所求概率为1358.对条件概率计算公式的两点说明(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝nABnA＝nABnΩnAnΩ＝PABPA.当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.()(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.()(3)P(B|A)与P(A|B)相同．()[答案](1)√(2)√(3)×2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.14B.13C.12D.1B[因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.]12[∵P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.]3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.4．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解]法一(定义法)由题意得球的分布如下：玻璃球木质球总计红235蓝4711总计61016设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，则P(A)＝1116，P(AB)＝416＝14.∴P(B|A)＝PABPA＝141116＝411.法二(直接法)∵n(A)＝11，n(AB)＝4，∴P(B|A)＝nABnA＝411.