2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和

2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列前n项和公式登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式阅读教材P55～P58，完成下列问题．知识点一|等比数列前n项和公式‖知识梳理‖等比数列的前n项和公式[点睛]在应用公式求和时，应注意到Sn＝a11－qn1－q的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝a11－qn1－q来求．()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.()(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．()解析：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，若不确定，应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝a11－qn1－q(q≠0且q≠1)变形为：Sn＝a11－q－a11－qqn(q≠0且q≠1)，若令a＝a11－q，则上式可变形为Sn＝a－aqn.答案：(1)×(2)√(3)√‖小试身手‖1．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1＋a，则a的值为()A．3B．－3C．－1D．任意实数解析：选B由q≠1时，等比数列的前n项和为Sn＝A·qn－A的形式知，Sn＝3n＋1＋a＝3×3n＋a中，a＝－3.故选B.2．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是()A．179B．211C．348D．275解析：选B由16＝81×q5－1，q0，得q＝23.于是S5＝811－2351－23＝211.故选B.知识点二|等比数列前n项和性质‖知识梳理‖(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)．(3)若一个非常数数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．‖小试身手‖3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31B．33C．35D．37解析：选B根据等比数列性质得S10－S5S5＝q5，∴S10－11＝25，∴S10＝33.故选B.4．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝_____________.解析：因为{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别设为S偶，S奇，由题意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝S偶S奇＝2.答案：2剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一等比数列的前n项和公式的基本运算【例1】(1)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝_____________；前n项和Sn＝_____________.[解析]∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q，∴q＝2，∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2，∴Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.[答案]22n＋1－2(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.[解]设{an}的公比为q，由题设得a1q＝6，6a1＋a1q2＝30.解得a1＝3，q＝2或a1＝2，q＝3.当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.[方法总结]等比数列前n项和公式的应用(1)熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，运用方程的思想，求出基本量a1和q，然后求出其他量，是解这类题的常用方法．(2)已知an时用Sn＝a1－anq1－q较简便，而Sn＝a11－qn1－q在将已知量表示为最基本元素a1和q的表达式中发挥着重要作用.1．在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q和n；(3)S3＝3a3，求q.解：(1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1＋an＝66，a1·an＝128，解得a1＝2，an＝64或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q＝2，n＝6或q＝12，n＝6.(3)当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，显然成立．当q≠1时，由已知得a11－q31－q＝3a1q2，化简得2q2－q－1＝0，∴q＝－12或q＝1(舍去)．综上知，q＝1或q＝－12.题型二等比数列前n项和的性质一题多解【例2】各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于()A．150B．－200C．150或－200D．400或－50[解析][解法一：公式法]设首项为a1，公比为q，由题意知q≠±1.由a11－q101－q＝10，①a11－q301－q＝70，②由以上两式相除得，q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，代入①有a11－q＝－10，∴S40＝a11－q401－q＝－10×(－15)＝150.[解法二：性质法]易知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成公比为q10的等比数列，则S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10＋q20S10，即q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，∴S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＝10(1＋2＋22＋23)＝150.[答案]A[方法总结]运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件．否则会出现失误．如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0.2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64解析：选C解法一：在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.g故选C.解法二：设等比数列的公比为q.则S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋q2)×3＝15，解得q2＝4.故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C.3．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q.解：由题意知，S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160.∴公比q＝S偶S奇＝－160－80＝2.题型三等比数列前n项和的实际问题【例3】某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2016年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则(1)该市在2022年应该投入电力型公交车多少辆？(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的13？[解](1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝32.∴2022年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×326＝1458(辆)．∴该市在2022年应该投入1458辆电力型公交车．(2)设{an}的前n项和为Sn.则Sn＝128×1－32n1－32＝256×32n－1，由Sn(10000＋Sn)×13，即Sn5000，n∈N＋，解得n7.∴该市在2023年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.[方法总结]应用数列知识解决实际问题的步骤(1)根据实际问题提取数据；(2)建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；(3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修改关系；(4)利用合理的结论对实际问题展开讨论.4．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意，得an＋1＝45an；因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a11－qn1－q＝251－45n1－45＝125×1－45n125，即这个热气球上升的高度不可能超过125m.知识归纳自我测评堂内归纳提升1．把握1个重点在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．记牢3个常用性质(1)数列{an}为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列．(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，则①在其前2n项中，S偶S奇＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝a1＋a2n＋1q1－－q＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)．3．辨明1个易错点应用等比数列的前n项和时，应分q＝1和q≠1，这也是本节课的易错点．「自测检评」1．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A．13B．－13C．19D．－19解析：选C由题知公比q≠1，则S3＝a11－q31－q＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝19，故选C.2．已知数列{an}是首项a1＝14的等比数列，其前n项和为Sn，S3＝316，若am＝－1512，则m的值为()A．8B．10C．9D．7解析：选A设数列{an}的公比为q，若q＝1，则S3＝34≠316，不符合题意，∴q≠1.由a1＝14，S3＝a11－q31－q＝316，得a1＝14，q＝－12，∴an＝14×－12n－1＝－12n＋1.由am＝－12m＋1＝－1512，得m＝8.故选A.3．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，若5S2＝S4，则log4a3的值为()A．1B．2C．0或1D．0或2解析：选C由题意得，等比数列{an}中，5S2＝S4，a1＝1，所以5(a1＋a2)＝a1＋a2＋a3＋a4，即5(1＋q)＝1＋q＋q2＋q3，q3＋q2－4q－4＝0，即(q＋1)(q2－4)＝0，解得q＝－1或±2，当q＝－1时，a3＝1，log4a3＝0.当q＝±2时，a3＝4，lo