2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式课

2.4等比数列第一课时等比数列的概念及通项公式登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用．2．掌握等比中项的概念并会应用．3．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一|等比数列的定义阅读教材P48～P49，完成下列问题．‖知识梳理‖等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于1_____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的2_____________，通常用字母q表示(q≠0)．同一常数公比‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()(3)常数列一定为等比数列．()答案：(1)×(2)×(3)×‖小试身手‖1．下列数列为等比数列的是()A．2,22,3×22，…B.1a，1a2，1a3，…C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…解析：选BA、C、D不是等比数列，A不满足定义，C中项可为0，D各项为0，均不符合定义．故选B.2．如果数列a，a2，a3，a4，…，an成等比数列，则a应满足的条件为_____________．答案：a≠0知识点二|等比中项阅读教材P49，完成下列问题．‖知识梳理‖如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成3_____________，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.等比数列[点睛](1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G＝±ab，即等比中项有两个，且互为相反数．(2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．‖小试身手‖3．已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝_____________.答案：±34．3与27的等比中项是_____________．答案：±9知识点三等比数列的通项公式阅读教材P50，完成下列问题．‖知识梳理‖等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝4_____________.a1qn－1‖小试身手‖5．等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．6解析：选B∵13＝98×23n－1，∴827＝23n－1，即233＝23n－1，∴n－1＝3，∴n＝4.故选B.6．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝_____________.解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.答案：－729剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一等比数列的通项公式一题多解【例1】在等比数列{an}中．(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解]设公比为q，(1)解法一：因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8.②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝2.解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2×(34)n－4＝2.2n－532n－53(2)解法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，③a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，④由④③得q＝12，从而a1＝32，又an＝1，所以32×12n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.[方法总结]等比数列通项公式的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后，再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.1．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，则公比q等于()A．14B．12C．2D．8解析：选B∵{an}为等比数列，∴a4＋a6＝(a1＋a3)q3.∴q3＝18，∴q＝12.故选B.2．在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，则an＝_____________.解析：∵a5－a1＝a1q4－a1＝15，①a4－a2＝a1q3－a1q＝6，②由①②得q＝12或q＝2.当q＝12时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.∴an＝－25－n或an＝2n－1.答案：－25－n或2n－13．已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求数列{an}的通项公式an.解：由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或12，由a25＝a10＝a1q90⇒a10，又数列{an}递增，所以q＝2.a25＝a100⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.题型二等比中项【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[解]设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a1＋a1q＋a1q2＝168，a1q－a1q4＝42，∴a1＋q＋q2＝168，a1q－q3＝42.∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，上述两式相除，得q(1－q)＝14⇒q＝12，∴a1＝42q－q4＝4212－124＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9，∴a5，a7的等比中项是±3.[方法总结](1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9解析：选B∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.故选B.5．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，求a2－a1b2的值．解：∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b20.∴b2＝－2，∴a2－a1b2＝－1－2＝12.题型三等比数列的判定互动探究【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．[解](1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，得anan－1＝－12.又a1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．探究1若本例条件变为“数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1”，求证：{an＋1}成等比数列，并求an.解：由an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝2，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1.探究2若条件变为“数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋12n＋1”，求an.解：令an＋1－A·12n＋1＝13an－A·12n，则an＋1＝13an＋A3·12n＋1.由已知条件知A3＝1，得A＝3，所以an＋1－3×12n＋1＝13an－3×12n.又a1－3×121＝－23≠0，所以an－3×12n是首项为－23，公比为13的等比数列．于是an－3×12n＝－23×13n－1，故an＝3×12n－2×13n.[方法总结]证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)或anan－1＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．知识归纳自我测评堂内归纳提升1．记住1个定义——等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．通常用字母q(q≠0)表示．2．掌握2个重点(1)等比数列的通项公式首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.(2)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab(a，b均不为0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列．3．牢记3种方法证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)或anan－1＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}是等比数列．「自测检评」1．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝22，则a3＝()A．±2B．2C．－2D．4解析：选B设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝22＝(2)3，q＝2，a3＝a4q＝2，故选B.2．等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为()A.12B．2C.12或－2D．2或12解析：选D由已知得a1q4－a1＝60，①a1q3－a1q＝24，②①②得，a1q4－1a1qq2－1＝52，即q2＋1q＝52，解得q＝12或2，当q＝2时，代入①，得a1＝4，{an}是递增数列；当q＝12时，代入①，得a1＝－64，{an}也是递增数列，故选D.3．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是()A．405B．－405C．135D．－135解析：选A∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝－3，∴a5＝405.故选A.4．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝_____________.解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.答案：65．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，∴2q＋2q＝203，解得q＝13或q＝3.当q＝13时，a1＝18，此时an＝18×13n－1＝2×33－n；当q＝3时，a1＝29，此时an＝29×3n－1＝2×3n－3.