2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前

第二章数列2.3等比数列2.3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2．会用错位相减法求数列的和．(难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和公式的学习，考查学生的直观想象的素养．2．借助错位相减法求数列的和的方法，提升学生的数学运算素养.自主预习探新知等比数列的前n项和公式思考：等比数列求和应注意什么？[提示]公比q是否等于1.1．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为()A．10B．212C．11D．12C[设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为1－－251－－2＝11.]2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3a2＝()A．3B．4C．72D．132C[易知等比数列{an}的首项为a1，则S3a2＝a11－231－2a1×2＝72.]3或－4[∵S3＝a11－q31－q＝21－q31－q＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4.]3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.4[由S5＝a1[1－－25]1－－2＝44，得a1＝4.]4．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝________.合作探究提素养等比数列前n项和公式基本量的运算【例1】在等比数列{an}中．(1)若q＝2，S4＝1，求S8；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5.[解](1)法一：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴a11－241－2＝1，即a1＝115，∴S8＝a11－q81－q＝1151－281－2＝17.法二：∵S4＝a11－q41－q＝1，且q＝2，∴S8＝a11－q81－q＝a11－q41－q(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54.即a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54，②∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝12，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a11－q51－q＝8×1－1251－12＝312.1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．1．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.[解](1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以a11－q41－q＝1，①a11－q81－q＝17，②①÷②得11＋q4＝117，解得q＝±2，所以a1＝115，q＝2或a1＝－15，q＝－2.所以an＝2n－115或an＝－1n×2n－15.等比数列前n项和的综合应用【例2】借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借货后笫二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?[解]法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a．由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，所以a≈1.061×1021.061－1≈1739(元)．故每月应支付1739元．法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还货a元，分6个月还清，到货款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a(1.016－1)×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1≈1739(元)．故每月应支付1739元．解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．2．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？[解]用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a11－qn1－q＝25×1－45n1－45＝125×1－45n125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.错位相减法求和[探究问题]1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？[提示]由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.2．在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？[提示]在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①两边同乘以{2n}的公比可变形为2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．【例3】设数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn－1(x≠0)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.[思路探究]由an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2完成第(1)问；由题设知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，因此可用错位相减法求Tn.[解](1)∵an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，即an＝2，n＝1，2n，n≥2.当n＝1时，an＝2n也成立，∴an＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由an＝2n，bn＝xn－1且cn＝anbn可得cn＝2nxn－1，Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn－1，①则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn.②①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn－1－2nxn.当x≠1时，(1－x)Tn＝2×1－xn1－x－2nxn，∴Tn＝2－2n＋1xn＋2nxn＋11－x2.当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.错位相减法的适用范围及注意事项：(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．2n＋1－n－22n[令Sn＝12＋24＋38＋…＋n2n，①则12Sn＝14＋28＋316＋…＋n－12n＋n2n＋1，②由①－②得，12Sn＝12＋14＋18＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1，得Sn＝2－22n－n2n＝2n＋1－n－22n.]3．12＋12＋38＋…＋n2n＝________.1．本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算．2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．3．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝a11－qn1－q来求．()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na．()(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．()[答案](1)×(2)√(3)√2．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299C[数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝1－2991－2＝299－1.]2[∵q＝2，n＝5，Sn＝62，∴a11－qn1－q＝62，即a11－251－2＝62，∴a1＝2.]3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.4．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝bn3，因此{bn}是首项为1，公比为13的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.